(20)(本小題滿分12分)
已知等差數列的前3項和為6,前8項和為-4。
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)設,求數列
的前n項和
【命題意圖】本小題只要考查數列的基礎知識和化歸、分類整合等數學思想,以及推理論證與分析問題、解決問題的能力.
解:(Ⅰ)設的公差為d.由已知得
解得,
.
故.……………………………………………(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得解答可得,,于是
.
若,將上式兩邊同乘以q有
.
兩式相減得到
.
于是.
若,則
.
所以,…………………………………(12分)
(21)(本小題滿分12分)
已知定點A(-1,0),F(2,0),定直線l:x=,不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E,過點F的直線交E于B、C兩點,直線AB、AC分別交l于點M、N
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F,并說明理由.
【命題意圖】本題主要考查軌跡方程的求解、直線與雙曲線的位置關系,考查解析幾何的思想方法及推理運算能力.
解:(Ⅰ)設,則
,
化簡得.……………………………………………………(4分)
(Ⅱ)①當直線與
軸不垂直時,設
的方程為
.
與雙曲線方程聯立消去
得
.
由題意知,且
.
設,則
,
,
.
因為,
所以直線的方程為
,因此
點的坐標為
,
.
同理可得.
因此
.
②當直線與
軸垂直時,其方程
,則
,
.
的方程為
,因此
點的坐標
,
.
同理可得.
因此.
綜上,,即
.
(22)(本小題滿分14分)
設(
且
),g(x)是f(x)的反函數.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)當時,恒有
成立,求t的取值范圍;
(Ⅲ)當0<a≤時,試比較f(1)+f(2)+…+f(n)與的大小,并說明理由.
【命題意圖】本題主要考查函數、反函數、不等式、導數及其應用等基礎知識,考查化歸、分類整合等數學思想,以及推理論證與分析問題、解決問題的能力.
解:(Ⅰ)由題意得,,
故,
.…………………………………………(3分)
(Ⅱ)由得
①當時,
.
又因為,所以
.
令,
則.
列表如下:
x | 2 | 5 | 6 | ||
+ | 0 | ||||
5 | ↗ | 極大值32 | ↘ | 25 |
所以,
所以.
②當時,
,
又因為,所以
.
令,
由①知,
所以.
綜上,當時,
;當
時,
.………………………………(9分)
(Ⅲ)設,則
.
當時,
.
當時,
設,
時,
則.
所以.
從而.
所以.
綜上.…………………………(14分)
【點評】最后一題總體上來說是一道難題,但難中也有簡單部分,因此一定要盡力去做,第(Ⅰ)問是簡單題,第(Ⅱ)問有點難度,雖然涉及到了討論,但考查的內容是我們熟悉的恒成立問題,需要分離參數然后轉化成求最值來解決,所以也不陌生;第(Ⅲ)是難題,用到了放縮法,然后裂項相消求和,不易想到,這一問基本是為極少人準備的.