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2010年高考數學真題附解析(四川卷+文科)

來源:可可英語 編輯:Ookamie ?  可可英語APP下載 |  可可官方微信:ikekenet

(18)(本小題滿分12分)

在正方體ABCD-A′B′C′D′中,點M是棱AA′的中點,點O是對角線BD′的中點.


(Ⅰ)求證:OM為異面直線AA′和BD′的公垂線;

(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;

【命題意圖】本題以正方體為載體,考查空間垂直關系的證明以及二面角的計算,考查基本的空間推理與計算能力,考查利用向量解決立體幾何的能力.

解法一

(Ⅰ)連結AC,取AC的中點K,則K為BD的中點,連結OK.

因為點M是棱′的中點,點O是的中點,


所以

所以

,得

因為,所以平面

所以

所以

又因為OM與異面直線都相交,

故OM為異面直線’的公垂線.……………(5分)

(Ⅱ)取的中點N,連結MN,則平面.過點N作于H,連結MH,則由三垂線定理得,.從而,為二面角的平面角.

,則

中,

故二面角的大小為.……………………………(12分)

解法二

以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.設,則


(Ⅱ)設平面的一個法向量為

,則.從而

取平面的一個法向量為

由圖可知,二面角的平面角為銳角,

故二面角的大小為.……………………………(12分)

【點評】空間的線線垂直的證明方法主要有:(1)定義法;(2)等腰三角形的性質;(3)三垂線定理;(4)線面垂直;(5)向量法.幾何法確定二面角的平面角的方法:(1)直接法;(2)三垂線法;(3)棱的垂面法等,當然如果題目適合建立空間直角坐標系,用向量法更簡潔,但對于分步給分的立體幾何解答題,傳統法也有它的長處.

(19)(本小題滿分12分)

(Ⅰ)1證明兩角和的余弦公式2010年高考數學真題附解析(四川卷+文科)

2由推導兩角和的正弦公式2010年高考數學真題附解析(四川卷+文科).

(Ⅱ)已知,求


【命題意圖】本題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數的關系等基礎知識及運算能力.

解:(Ⅰ)①如圖,在直角坐標系內作單位圓O,并作出角,使角的始邊為,交于點,終邊交于點;角的始邊為,終邊交于點,角的始邊為,終邊交于點

及兩點間的距離公式,得

展開并整理,得

.……………(4分)

②由①易得,

.……………………………(6分)

(Ⅱ)

.………………………(12分)

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