（18）（本小題滿分12分）

在正方體ABCD－A′B′C′D′中，點M是棱AA′的中點，點O是對角線BD′的中點.

（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；

（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；

【命題意圖】本題以正方體為載體，考查空間垂直關系的證明以及二面角的計算，考查基本的空間推理與計算能力，考查利用向量解決立體幾何的能力.

解法一

（Ⅰ）連結AC，取AC的中點K，則K為BD的中點，連結OK．

因為點M是棱′的中點，點O是的中點，

所以，

所以．

由，得

因為，，所以平面，

所以．

所以．

又因為OM與異面直線和都相交，

故OM為異面直線和’的公垂線．……………（5分）

（Ⅱ）取的中點N，連結MN，則平面．過點N作于H，連結MH，則由三垂線定理得，．從而，為二面角的平面角．

設，則，．

在中，．

故二面角的大小為．……………………………（12分）

解法二

以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，，，，，．

（Ⅱ）設平面的一個法向量為．

，．

即

取，則，．從而．

取平面的一個法向量為．

．

由圖可知，二面角的平面角為銳角，

故二面角的大小為．……………………………（12分）

【點評】空間的線線垂直的證明方法主要有：（1）定義法；（2）等腰三角形的性質；（3）三垂線定理；（4）線面垂直；（5）向量法.幾何法確定二面角的平面角的方法：（1）直接法；（2）三垂線法；（3）棱的垂面法等，當然如果題目適合建立空間直角坐標系，用向量法更簡潔，但對于分步給分的立體幾何解答題，傳統法也有它的長處.

（19）（本小題滿分12分）

（Ⅰ）1證明兩角和的余弦公式；

2由推導兩角和的正弦公式.

（Ⅱ）已知，求

【命題意圖】本題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數的關系等基礎知識及運算能力.

解：（Ⅰ）①如圖，在直角坐標系內作單位圓O，并作出角與，使角的始邊為，交于點，終邊交于點；角的始邊為，終邊交于點，角的始邊為，終邊交于點．

則，，，．

由及兩點間的距離公式，得

展開并整理，得．

．……………（4分）

②由①易得，，．

．

．……………………………（6分）

（Ⅱ），．

．

，．

，．

．………………………（12分）

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