(18)(本小題滿分12分)
在正方體ABCD-A′B′C′D′中,點M是棱AA′的中點,點O是對角線BD′的中點.
(Ⅰ)求證:OM為異面直線AA′和BD′的公垂線;
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大小;
【命題意圖】本題以正方體為載體,考查空間垂直關系的證明以及二面角的計算,考查基本的空間推理與計算能力,考查利用向量解決立體幾何的能力.
解法一
(Ⅰ)連結AC,取AC的中點K,則K為BD的中點,連結OK.
因為點M是棱′的中點,點O是
的中點,
所以,
所以.
由,得
因為,
,所以
平面
,
所以.
所以.
又因為OM與異面直線和
都相交,
故OM為異面直線和
’的公垂線.……………(5分)
(Ⅱ)取的中點N,連結MN,則
平面
.過點N作
于H,連結MH,則由三垂線定理得,
.從而,
為二面角
的平面角.
設,則
,
.
在中,
.
故二面角的大小為
.……………………………(12分)
解法二
以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.設
,則
,
,
,
,
,
.
(Ⅱ)設平面的一個法向量為
.
,
.
即
取,則
,
.從而
.
取平面的一個法向量為
.
.
由圖可知,二面角的平面角為銳角,
故二面角的大小為
.……………………………(12分)
【點評】空間的線線垂直的證明方法主要有:(1)定義法;(2)等腰三角形的性質;(3)三垂線定理;(4)線面垂直;(5)向量法.幾何法確定二面角的平面角的方法:(1)直接法;(2)三垂線法;(3)棱的垂面法等,當然如果題目適合建立空間直角坐標系,用向量法更簡潔,但對于分步給分的立體幾何解答題,傳統法也有它的長處.
(19)(本小題滿分12分)
(Ⅰ)1證明兩角和的余弦公式;
2由推導兩角和的正弦公式
.
(Ⅱ)已知,求
【命題意圖】本題主要考查兩角和的正、余弦公式、誘導公式、同角三角函數的關系等基礎知識及運算能力.
解:(Ⅰ)①如圖,在直角坐標系內作單位圓O,并作出角
與
,使角
的始邊為
,交
于點
,終邊交
于點
;角
的始邊為
,終邊交
于點
,角
的始邊為
,終邊交
于點
.
則,
,
,
.
由及兩點間的距離公式,得
展開并整理,得.
.……………(4分)
②由①易得,,
.
.
.……………………………(6分)
(Ⅱ),
.
.
,
.
,
.
.………………………(12分)