19．（本小題共l2分）

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長A1C1至點P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．

（Ⅰ）求證：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

本小題主要考查直三棱柱的性質、線面關系、二面角等基本知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決問題的能力．

解法一：

（Ⅰ）連結AB1與BA1交于點O，連結OD，

∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，

∴OD∥PB1，又ODÌ面BDA1，PB1Ë面BDA1，

∴PB1∥平面BDA1．

（Ⅱ）過A作AE⊥DA1于點E，連結BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，

∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂線定理可知BE⊥DA1．

∴∠BEA為二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，，

又，∴．

在Rt△BAE中，，∴．

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．

解法二：

如圖，以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A1－B1C1A，則，，，，．

（Ⅰ）在△PAA1中有，即．

∴，，．

設平面BA1D的一個法向量為，

則令，則．

∵，

∴PB1∥平面BA1D，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一個法向量．

又為平面AA1D的一個法向量．∴．

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．

20．（本小題共12分）

已知是以a為首項，q為公比的等比數列，為它的前n項和．

（Ⅰ）當、、成等差數列時，求q的值；

（Ⅱ）當、、成等差數列時，求證：對任意自然數k，、、也成等差數列．

本小題考查等比數列和等差數列的基礎知識以及基本運算能力和分析問題、解決問題的能力．

解：（Ⅰ）由已知，，因此，，．

當、、成等差數列時，，可得．

化簡得．解得．

（Ⅱ）若，則的每項，此時、、顯然成等差數列．

若，由、、成等差數列可得，即．

整理得．因此，．

所以，、、也成等差數列．

21．（本小題共l2分）

過點C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點、，過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．

（I）當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；

（Ⅱ）當點P異于點B時，求證：為定值．

本小題主要考查直線、橢圓的標準方程及基本性質等基本知識，考查平面解析幾何的思想方法及推理運算能力．

解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為．

橢圓的右焦點為，此時直線的方程為 ，代入橢圓方程得

，解得，代入直線的方程得 ，所以，

故．

（Ⅱ）當直線與軸垂直時與題意不符．

設直線的方程為．代入橢圓方程得．

解得，代入直線的方程得，

所以D點的坐標為．

又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯立得

因此，又．

所以．

故為定值．

22．（本小題共l4分）

已知函數，．

（Ⅰ）設函數F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的單調區間與極值；

（Ⅱ）設，解關于x的方程；

（Ⅲ）設，證明：．

本小題主要考查函數導數的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數形結合、函數與方程、分類與整合等數學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力．

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

當時．；當時，，

故當時，為增函數；當時，為減函數．

為的極大值點，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化為，

即為，且

①當時，，則，即，

，此時，∵，

此時方程僅有一解．

②當時，，由，得，，

若，則，方程有兩解；

若時，則，方程有一解；

若或，原方程無解．

方法二：原方程可化為，

即，

①當時，原方程有一解；

②當時，原方程有二解；

③當時，原方程有一解；

④當或時，原方程無解．

（Ⅲ）由已知得，

．

設數列的前n項和為，且（）

從而有，當時，．

又

．

即對任意時，有，又因為，所以．

則，故原不等式成立．

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