三、解答題（本大題共6個小題，共74分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。）

17、(本小題滿分12分) 某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統（簡稱系統）和，系統和系統在任意時刻發生故障的概率分別為和。

（Ⅰ）若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為，求的值；

（Ⅱ）求系統在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數大于發生故障的次數的概率。

[解析]（1）設：“至少有一個系統不發生故障”為事件C，那么

1-P（C）=1-P= ，解得P=………………………………6 分

（2）設“系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數大于發生故障的次數”為

事件D,

那么P(D)=

答：檢測中不發生故障的次數大于發生故障的次數的概率為. ………………12分.

[點評]本小題主要考查相互獨立事件，獨立重復試驗、互斥事件等概念及相關計算，考查運用概率知識與方法解決實際問題的能力.

18、(本小題滿分12分) 已知函數。

（Ⅰ）求函數的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若，求的值。

[解析]（1）由已知，f（x）=

所以f（x）的最小正周期為2，值域為。…………………6分

（2）由（1）知，f（）=

所以cos（）。

所以

，…………………12分

[點評]本小題主要考查三角函數的性質、兩角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基礎知識，考查運算能力，考查化歸與轉化等數學思想.

19、(本小題滿分12分) 如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內的射影在上。

（Ⅰ）求直線與平面所成的角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小。

[解析]（1）連接OC. 由已知，所成的角

設AB的中點為D，連接PD、CD.

因為AB=BC=CA,所以CDAB.

因為等邊三角形，

不妨設PA=2，則OD=1，OP=, AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.…………………………6分

（2）過D作DE于E，連接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

據三垂線定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故 …………………………………12分

[點評]本題旨在考查線面位置關系和二面角的基礎概念，重點考查思維能力和空間想象能力，進一步深化對二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常規步驟：一找（尋找現成的二面角的平面角）、二作（若沒有找到現成的，需要引出輔助線作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出該角相應的三角函數值）.

20、(本小題滿分12分) 已知數列的前項和為，常數，且對一切正整數都成立。

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，，當為何值時，數列的前項和最大？

[解析]取n=1,得

若a1=0,則s1=0, 當n

若a1, 當n

上述兩個式子相減得：an=2an-1,所以數列{an}是等比數列

綜上，若a1 = 0,

若a1 …………………………………………7分

（2）當a1>0,且

所以，{bn}單調遞減的等差數列（公差為-lg2）

則 b1>b2>b3>…>b6=

當n≥7時，bn≤b7=

故數列{lg}的前6項的和最大. …………………………12分

[點評]本小題主要從三個層面對考生進行了考查. 第一，知識層面：考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識；第二，能力層面：考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力；第三，數學思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想.

21、(本小題滿分12分) 如圖，動點與兩定點、構成，且直線的斜率之積為4，設動點的軌跡為。

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。

[解析]（1）設M的坐標為（x,y），當x=-1時，直線MA的斜率不存在；當x=1時，直線MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此時，MA的斜率為，MB的斜率為.

由題意，有·=4

化簡可得，4x2-y2-4=0

故動點M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分

（2）由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)

對于方程(﹡)，其判別式=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0

而當1或-1為方程（*）的根時，m的值為-1或1.

結合題設（m>0）可知，m>0，且m≠1

設Q、R的坐標分別為（XQ,YQ）,(XR,YR),則為方程（*）的兩根.

因為,所以，

所以。

此時

所以

所以

綜上所述， …………………………12分

[點評]本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎知識，考察思維能力、運算能力，考察函數、分類與整合等思想，并考察思維的嚴謹性。

22、(本小題滿分14分) 已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）當時，比較與

的大小，并說明理由。

[解析]（1）由已知得，交點A的坐標為，對

則拋物線在點A處的切線方程為：

………………4分

（2）由（1）知f(n)=,則

即知，對于所有的n成立，

特別地，當n=1時，得到a≥3

當a=3，n≥1時，

當n=0時，=2n+1.故a=3時對所有自然數n均成立.

所以滿足條件的a的最小值為3. ………………………………………………8分

（3）由（1）知f(k)=

下面證明：

首先證明0<x<1時，

設函數g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 則.

當時,g'(x)<0; 當

故g（x）在區間（0，1）上的最小值

所以，當0<x<1時，g（x）>0,即得

由0<a<1知

[點評]本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力.主要考查了導數的應用、不等式、數列等基礎知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創新意識能力；且又深層次的考查了函數、轉換與化歸、特殊與一般等數學思維方法。

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