19、(本小題滿分12分)

如圖，在三棱錐中，，，，平面平面。

（Ⅰ）求直線與平面所成角的大?。?/p>

（Ⅱ）求二面角的大小。

[解析]（1）連接OC。由已知，所成的角

設AB的中點為D，連接PD、CD.

因為AB=BC=CA,所以CDAB.

因為等邊三角形，

不妨設PA=2，則OD=1，OP=,AB=4.

所以CD=2，OC=.

在Rttan.

故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan…………………6分

（2）過D作DE于E，連接CE.

由已知可得，CD平面PAB.

根據三垂線定理可知，CE⊥PA，

所以，.

由（1）知，DE=

在Rt△CDE中，tan

故……………………………12分

[點評]本小題主要考查線面關系、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查思維能力、空間想象能力，并考查應用向量知識解決數學問題的能力.

20、(本小題滿分12分) 已知數列的前項和為，且對一切正整數都成立。

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）設，數列的前項和為，當為何值時，最大？并求出的最大值。

[解析]取n=1,得 ①

取n=2,得 ②

又②-①，得 ③

（1）若a2=0, 由①知a1=0,

(2)若a2, ④

由①④得：…………………5分

（2）當a1>0時,由（I）知，

當 , (2+)an-1=S2+Sn-1

所以，an=

所以

令

所以，數列{bn}是以為公差，且單調遞減的等差數列.

則 b1>b2>b3>…>b7=

當n≥8時，bn≤b8=

所以，n=7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為

T7=…………………………12分

[點評]本小題主要從三個層面對考生進行了考查. 第一，知識層面：考查等差數列、等比數列、對數等基礎知識；第二，能力層面：考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力；第三，數學思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想.

21、(本小題滿分12分) 如圖，動點到兩定點、構成，且，設動點的軌跡為。

（Ⅰ）求軌跡的方程；

（Ⅱ）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。

[解析]（1）設M的坐標為（x,y），顯然有x>0,.

當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，, ±3）

當∠MBA≠90°時；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,

有tan∠MBA=,即

化簡得：3x2-y2-3=0,而又經過（2，,±3）

綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1）…………………5分

(II)由方程消去y，可得。（*）

由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內，設

所以

解得，m>1,且m2

設Q、R的坐標分別為，由有

所以

由m>1，且m2，有

所以的取值范圍是................................................ 12分

[點評]本小題主要考察直線、雙曲線、軌跡方程的求法等基礎知識，考察思維能力、運算能力，考察函數、分類與整合等思想，并考察思維的嚴謹性。

22、(本小題滿分14分)

已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）當時，比較與的大小，并說明理由。

[解析]（1）由已知得，交點A的坐標為，對則拋物線在點A處的切線方程為

（2）由（1）知f(n)=,則

即知，對于所有的n成立，特別地，取n=2時，得到a≥

當,

>2n3+1

當n=0,1,2時，顯然

故當a=時，對所有自然數都成立

所以滿足條件的a的最小值是。

（3）由（1）知，則，

下面證明：

首先證明：當0<x<1時，

設函數

當

故g(x)在區間（0,1）上的最小值g(x)min=g

所以，當0<x<1時，g(x)≥0,即得

由0<a<1知0<ak<1(),因此，從而

[點評]本小題屬于高檔題，難度較大，需要考生具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力.主要考查了導數的應用、不等式、數列等基礎知識；考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創新意識能力；且又深層次的考查了函數、轉換與化歸、特殊與一般等數學思維方法。

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