19.（本小題滿分12分）

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M為棱DD1上的一點。

（1） 求三棱錐A-MCC1的體積；

（2） 當A1M+MC取得最小值時，求證：B1M⊥平面MAC。

【解析】（1）又長方體AD平面.點A到平面的距離AD=1，

∴==×2×1=1 ，∴

(2)將側面繞逆時針轉動90°展開，與側面共面。當，M,C共線時，

+MC取得最小值AD=CD=1 ,=2得M為的中點連接M在中，=MC=，=2,

∴=+ , ∴∠=90°,CM⊥,

∵⊥平面，∴⊥CM ∵AM∩MC=C

∴CM⊥平面,同理可證⊥AM ∴⊥平面MAC

【答案】

【考點定位】本題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關系以及體積等基本知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、數形結合思想、化歸與轉化思想。

20. （本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°

（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°

Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論。、

21.（本小題滿分12分）

如圖，等邊三角形OAB的邊長為，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p＞0）上。

（1） 求拋物線E的方程；

（2） 設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相較于點Q。證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點。

【解析】

（1）依題意,設點B（x，y），則x=·=

Y=·=12 ，∴B（，12）在拋物線上，∴=2p×12，∴p=2，

拋物線E的方程為=4y

（2）設點P（,）, ≠0. ∵Y=,,

切線方程：y-=，即y=

由 ∴Q（，-1）

設M（0，）∴，∵·=0

--++=0，又，∴聯立解得=1

故以PQ為直徑的圓過y軸上的定點M（0，1）

【答案】

【考點定位】 本題主要考察拋物線的定義性質、圓的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基本指導，考查運用求解能力、推理論證能力、數形結合思想、轉化與化歸思想、特殊與一般思想。

22.（本小題滿分14分）

已知函數且在上的最大值為，

（1）求函數f(x)的解析式；

(2)判斷函數f(x)在（0，π）內的零點個數，并加以證明。

由（1）知f（x）=，f（0）=-<0，f（）=>0，

∴f（x）在[0, ]上至少有一個零點，又由（1）知f（x）在[0, ]上單調遞增，

故在[0, ]上只有一個零點，當時，令g（x）==，

，g（x）在上連續，∴，g（m）=0

<0，∴g（x）在上遞減，當時，

g(x)>g（m）=0，

>0，f（x）遞增，∴當m（，m）時，f（x）≥f（）=>0

∴f（x）在（m，π）上遞增，∵f（m）>0 ，f（π）<0,

∴f（x）在（m，π）上只有一個零點，綜上f（x）在（0，π）上有兩個零點，

【答案】（1）f（x）=；（2）2個零點

【考點定位】本題主要考查函數的最值、零點、單調性等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、考查函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化化歸思想。

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