19.（本小題滿分13分）某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執行標準（I）已知甲廠產品的等級系數X1的概率分布列如下所示：

且的數字期望=6，求a，b的值；

【解析】：本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識、考查函數與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。

解：（I）因為，所以，即又由的概率分布列得，即由解得

（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數的概率分布列如下：

所以

=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8即乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8。

（Ⅲ）乙廠的產品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產品的等級系數的數學期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為=1，因為乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為=1.2據此，乙廠的產品更其可購買性。

20.（本小題滿分14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.

（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；（II）設AB=AP.（i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長； （ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由。

【解析】：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想，滿分14分。

法一：（Ⅰ）因為平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面。

（II）以為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖）在平面內，作于點，

則，在

，設==，

則，由+=4得=4-，

所以

（）設平面的法向量為，由得

取得平面的一個法向量，又，故由直線與平面所成的角為得即，解得或（舍去，因為），所以

（）假設在線段上存在一個點C，使得點到點的距離都相等。

由，從而，即，

所以設，則

在中，，

這與矛盾，所以在線段上不存在一個點，使得點到的距離都相等。

法二：

（Ⅰ）同解法一

（II）（）以為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖）在平面內，作于點E，

則，在中，

，設==，

則，由+=4得=4-，

所以

（）假設在線段上存在一個點C，使得點到點的距離都相等。

由，

從而，即，

所以

設，則

在中，

，這與矛盾，所以在線段上不存在一個點，使得點到的距離都相等。

21. 本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

設矩陣 （其中a＞0，b＞0）.（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M-1；（II）若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C’：，求a，b的值.

【解析】：本小題主要考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，滿分7分。

（Ⅰ）設矩陣的逆矩陣=，則=

又=，所以=

所以，即，

故所求的逆矩陣=

（Ⅰ）把極坐標系下的點化為直角坐標，得，因為點的直角坐標（0，4）滿足直線的方程，所以點在直線上。

（II）因為點在曲線上，故可設點的坐標為，從而點到直線的距離為

由此得，當=-1時，取得最小值，且最小值為

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

設不等式的解集為M.（I）求集合M；（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小.

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