20．（本小題滿分12分）如圖，在拋物線的焦點為，準線與軸的交點為．點在拋物線上，以為圓心為半徑作圓，設圓與準線的交于不同的兩點．

（1）若點的縱坐標為2，求；

（2）若，求圓的半徑．

本小題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．滿分12分．

解：（Ⅰ）拋物線的準線的方程為，

由點的縱坐標為，得點的坐標為

所以點到準線的距離，又．

所以.

（Ⅱ）設，則圓的方程為，

即.

由，得

設，，則：

由，得

所以，解得，此時

所以圓心的坐標為或

從而，，即圓的半徑為

21（本小題滿分12分）如圖，在等腰直角三角形中，，，點在線段上．

（1）若，求的長；

（2）若點在線段上，且，問：當取何值時，的面積最小？并求出面積的最小

值．

本小題主要考查解三角形、同角三角函數的基本關系、兩角和與差的三角函數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．滿分12分．

解：（Ⅰ）在中，，，，

由余弦定理得，，

得，

解得或．

（Ⅱ）設，，

在中，由正弦定理，得，

所以，

同理

故

因為，，所以當時，的最大值為，此時的面積取到最小值．即2時，的面積的最小值為．

22（本小題滿分14分）已知函數（，為自然對數的底數）．

（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；

（2）求函數的極值；

（3）當的值時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值．

本小題主要考查函數與導數，函數的單調性、極值、零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想．滿分14分．

解：（Ⅰ）由，得．

又曲線在點處的切線平行于軸，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①當時，，為上的增函數，所以函數無極值．

②當時，令，得，．

，；，．

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．

綜上，當時，函數無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值．

（Ⅲ）當時，

令，

則直線：與曲線沒有公共點，

等價于方程在上沒有實數解．

假設，此時，，

又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故．

又時，，知方程在上沒有實數解．

所以的最大值為．

解法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當時，．

直線：與曲線沒有公共點，

等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程：

（*）

在上沒有實數解．

①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數解．

②當時，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，

當變化時，的變化情況如下表：

當時，，同時當趨于時，趨于，

從而的取值范圍為．

所以當時，方程（*）無實數解，

解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

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