三．解答題

17．（本小題滿分12分）已知等差數列的公差，前項和為．

（1）若成等比數列，求；

（2）若，求的取值范圍．

本小題主要考查等比等差數列、等比數列和不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想．滿分12分．

解：（1）因為數列的公差，且成等比數列，

所以，

即，解得或．

（2）因為數列的公差，且，

所以；

即，解得

18．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．

（1）當正視圖方向與向量的方向相同時，畫出四棱錐的正視圖.（要求標出尺寸，并畫出演算過程）；

（2）若為的中點，求證：；

（3）求三棱錐的體積．

本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系及幾何體的三視圖和體積等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力．運算求解能力，考查數形結合能力、化歸與轉化思想，滿分12分．

解法一：

（Ⅰ）在梯形中，過點作，垂足為，

由已知得，四邊形為矩形，

在中，由，,依勾股定理得：

，從而

又由平面得，

從而在中，由，,得

正視圖如右圖所示：

（Ⅱ）取中點，連結，

在中，是中點，

∴，，又,

∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴

又平面，平面

∴平面

（Ⅲ）

又，，所以

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）取的中點，連結,

在梯形中，，且

∴四邊形為平行四邊形

∴，又平面，平面

∴平面，又在中，

平面,平面

∴平面.又,

∴平面平面，又平面

∴平面

（Ⅲ）同解法一

19．（本小題滿分12分）某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關．現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統計了他們某月的日平均生產件數，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產件數分成5組：，，，，分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率．

（2）規定日平均生產件數不少于80件者為“生產能手”，請你根據已知條件完成的列聯表，并判斷是否有

的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”？

附表：

本小題主要考查古典概型、抽樣方法、獨立性檢驗等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查必然和或然思想、化歸與轉化思想等，滿分12分．

解：（Ⅰ）由已知得，樣本中有周歲以上組工人名，周歲以下組工人名

所以，樣本中日平均生產件數不足件的工人中，周歲以上組工人有（人），

記為，，；周歲以下組工人有（人），記為，

從中隨機抽取名工人，所有可能的結果共有種，他們是：，，，，，，，，，

其中，至少有名“周歲以下組”工人的可能結果共有種，它們是：，，，，，，.故所求的概率：

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的名工人中，“周歲以上組”中的生產能手（人），“周歲以下組”中的生產能手（人），據此可得列聯表如下：

所以得：

因為，所以沒有的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”

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