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2009年高考數學真題附答案(福建卷+文科)

來源:可可英語 編輯:Ookamie ?  可可英語APP下載 |  可可官方微信:ikekenet


21.本小題主要考查函數、導數等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想,滿分12分。

解法一:

(I)依題意,得

(Ⅱ)由(I)得

,則

①當時,

變化時,的變化情況如下表:

+

+

單調遞增

單調遞減

單調遞增

由此得,函數的單調增區間為,單調減區間為

②由時,,此時,恒成立,且僅在,故函數的單調區間為R

③當時,,同理可得函數的單調增區間為,單調減區間為

綜上:

時,函數的單調增區間為,單調減區間為

時,函數的單調增區間為R;

時,函數的單調增區間為,單調減區間為

(Ⅲ)當時,得

,得

由(Ⅱ)得的單調增區間為,單調減區間為

所以函數處取得極值。

所以直線的方程為

易得,而的圖像在內是一條連續不斷的曲線,

內存在零點,這表明線段與曲線有異于的公共點

解法二:

(I)同解法一

(Ⅱ)同解法一。

(Ⅲ)當時,得,由,得

由(Ⅱ)得的單調增區間為,單調減區間為,所以函數處取得極值,

所以直線的方程為

解得

所以線段與曲線有異于的公共點

22.本小題主要考查直線、橢圓、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想,滿分14分

解法一:

(I)由已知得,橢圓的左頂點為上頂點為

故橢圓的方程為

(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在,且,故可設直線的方程為,從而

0

,從而

當且僅當,即時等號成立

時,線段的長度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當取最小值時,

此時的方程為

要使橢圓上存在點,使得的面積等于,只須到直線的距離等于,所以在平行于且與距離等于的直線上。

設直線

則由解得

① 當

由于故直線與橢圓C有兩個不同的交點

② 當

由于與橢圓C沒有交點

綜上所述,當線段MN的長度最小時,橢圓上僅存在兩個不同的點T,使得的面積等于

解法二:

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)設

當且僅當時等號成立

即M,N的長度的最小值為

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當M,N取最小值時,

此時BS的方程為

設與直線BS平行的直線方程為

當直線與橢圓C有唯一公共點時,有解得

時,兩平行直線BS:間的距離

時,兩平行直線BS:間的距離

在BS邊上的高

橢圓C上存在兩個不同的點T,使得的面積等于

即線段MN的長度最小時,橢圓C上僅存在兩個不同的點T,使得的面積等于

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