21.本小題主要考查函數、導數等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想,滿分12分。
解法一:
(I)依題意,得
由得
(Ⅱ)由(I)得(
故
令,則
或
①當時,
當變化時,
與
的變化情況如下表:
+ | — | + | |
單調遞增 | 單調遞減 | 單調遞增 |
由此得,函數的單調增區間為
和
,單調減區間為
②由時,
,此時,
恒成立,且僅在
處
,故函數
的單調區間為R
③當時,
,同理可得函數
的單調增區間為
和
,單調減區間為
綜上:
當時,函數
的單調增區間為
和
,單調減區間為
;
當時,函數
的單調增區間為R;
當時,函數
的單調增區間為
和
,單調減區間為
(Ⅲ)當時,得
由,得
由(Ⅱ)得的單調增區間為
和
,單調減區間為
所以函數在
處取得極值。
故
所以直線的方程為
由得
令
易得,而
的圖像在
內是一條連續不斷的曲線,
故在
內存在零點
,這表明線段
與曲線
有異于
的公共點
解法二:
(I)同解法一
(Ⅱ)同解法一。
(Ⅲ)當時,得
,由
,得
由(Ⅱ)得的單調增區間為
和
,單調減區間為
,所以函數
在
處取得極值,
故
所以直線的方程為
由得
解得
所以線段與曲線
有異于
的公共點
22.本小題主要考查直線、橢圓、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想,滿分14分
解法一:
(I)由已知得,橢圓的左頂點為
上頂點為
故橢圓的方程為
(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在,且
,故可設直線
的方程為
,從而
由得
0
設則
得
,從而
即又
由得
故
又
當且僅當,即
時等號成立
時,線段
的長度取最小值
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當取最小值時,
此時的方程為
要使橢圓上存在點
,使得
的面積等于
,只須
到直線
的距離等于
,所以
在平行于
且與
距離等于
的直線
上。
設直線
則由解得
或
① 當由
由于故直線
與橢圓C有兩個不同的交點
② 當由
由于與橢圓C沒有交點
綜上所述,當線段MN的長度最小時,橢圓上僅存在兩個不同的點T,使得的面積等于
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)設
設
故
當且僅當時等號成立
即M,N的長度的最小值為
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當M,N取最小值時,
此時BS的方程為
設與直線BS平行的直線方程為
由
當直線與橢圓C有唯一公共點時,有解得
當時,兩平行直線BS:
與
:
間的距離
,
當時,兩平行直線BS:
與
:
間的距離
,
故
在BS邊上的高
橢圓C上存在兩個不同的點T,使得
的面積等于
即線段MN的長度最小時,橢圓C上僅存在兩個不同的點T,使得的面積等于