19.（本小題滿分13分）

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元。

（Ⅰ）試寫出關于的函數關系式；

（Ⅱ）當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最小？

解 （Ⅰ）設需要新建個橋墩，

所以

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，

令，得，所以=64

當0<<64時<0， 在區間（0，64）內為減函數；

當時，>0. 在區間（64，640）內為增函數，

所以在=64處取得最小值，此時，

故需新建9個橋墩才能使最小。

20（本小題滿分13分）

在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和

（Ⅰ）求點P的軌跡C；

（Ⅱ）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。

解（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則3︳x-2︳

由題設

當x>2時，由①得

化簡得

當時 由①得

化簡得

故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1

（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），

B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.

當點P在上時，由②知

. ④

當點P在上時，由③知

⑤

若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為

（i）當k≤，或k≥，即k≤-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點M（，），N（，）都在C 上，此時由④知

∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 -

從而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)

由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*∣MN∣=12 - （+）=12 -

因為當

當且僅當時，等號成立。

（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則④⑤知，

設直線AF與橢圓的另一交點為E

所以。而點A，E都在上，且

有（1）知

若直線的斜率不存在，則==3，此時

綜上所述，線段MN長度的最大值為

21.（本小題滿分13分）

對于數列若存在常數M＞0,對任意的，恒有

則稱數列為B-數列

（1） 首項為1，公比為的等比數列是否為B-數列？請說明理由;

請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題

判斷所給命題的真假，并證明你的結論；

（2） 設是數列的前項和，給出下列兩組論斷；

A組：①數列是B-數列 ②數列不是B-數列

B組：③數列是B-數列 ④數列不是B-數列

請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題。

判斷所給命題的真假，并證明你的結論；

（3） 若數列都是數列，證明：數列也是數列。

解（1）設滿足題設的等比數列為,則，于是

因此｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=

因為所以即

故首項為1，公比為的等比數列是B-數列。

（2）命題1：若數列是B-數列，則數列是B-數列

次命題為假命題。

事實上，設，易知數列是B-數列，但

由的任意性知，數列是B-數列此命題為。

命題2：若數列是B-數列，則數列是B-數列

此命題為真命題

事實上，因為數列是B-數列，所以存在正數M，對任意的有

即。于是

所以數列是B-數列。

（III）若數列 {}是數列，則存在正數，對任意的有

注意到

同理：

記，則有

因此

+

故數列是數列

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