三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.（本小題滿分12分）

在，已知，求角A，B，C的大小。

解：設(shè)

由得，所以

又因此

由得，于是

所以，，因此

，既

由A=知，所以，，從而

或，既或故

或。

17.（本小題滿分12分）

為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、、，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。

（I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；

（II）記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件 ,,，i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且P（）=，P（）=，P（）=

（1） 他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率

P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=

(2) 解法1 設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由己已知，-B（3，），且=3。

所以P（=0）=P（=3）==，

P（=1）=P（=2）= =

P（=2）=P（=1）==

P（=3）=P（=0）= =

故的分布是

的數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3=2

解法2 第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件，

i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互獨(dú)立，且

P（）-（，）= P（）+P（）=+=

所以--,既，

故的分布列是

18.（本小題滿分12分）

如圖4，在正三棱柱中，

D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。

（I） 證明平面平面

（II） 求直線和平面所成角的正弦值。

解 （I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。

（2）解法1 如圖所示，設(shè)F使AB的中點(diǎn)，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性質(zhì)及D是AB的中點(diǎn)知ABCD， ABDF

又CDDF=D，所以AB平面CDF，

而AB∥AB，所以

AB平面CDF，又AB平面ABC，故

平面AB C平面CDF。

過(guò)點(diǎn)D做DH垂直CF于點(diǎn)H，則DH平面AB C。

連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=A A，不妨設(shè)A A=，則AB=2，DF=，D C=，

CF=，AD==，DH==—，

所以 sinHAD==。

即直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。

解法2 如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)

A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）

設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有

解得x=-y， z=-，

故可取n=(1，-，)。

所以，(n·)===。

由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。

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