20（本小題滿分12分）

已知橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線方程為。

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于兩點，且，求直線的方程。

本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎知識，以及綜合運用數學知識解決問題及推理運算能力。

解：（Ⅰ）有條件有，解得。

。

所以，所求橢圓的方程為。…………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。

若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1.

將x=-1代入橢圓方程得。

不妨設、，

.

,與題設矛盾。

直線l的斜率存在。

設直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。

設、，

聯立，消y得。

由根與系數的關系知，從而，

又，，

。

。

化簡得

解得

21. （本小題滿分12分）

已知函數。

（I）求函數的定義域，并判斷的單調性；

（II）若

（III）當（為自然對數的底數）時，設，若函數的極值存在，求實數的取值范圍以及函數的極值。

本小題主要考查函數、數列的極限、導數應用等基礎知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。

解：（Ⅰ）由題意知

當

當

當….（4分）

（Ⅱ）因為

由函數定義域知>0,因為n是正整數，故0

所以

（Ⅲ）

令

① 當m=0時，有實根，在點左右兩側均有故無極值

② 當時，有兩個實根

當x變化時，、的變化情況如下表所示：

的極大值為，的極小值為

③ 當時，在定義域內有一個實根，

同上可得的極大值為

綜上所述，時，函數有極值；

當時的極大值為，的極小值為

當時，的極大值為

22. （本小題滿分14分）

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。

（I）求數列的通項公式；

（II）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有；

（III）設數列的前項和為。已知正實數滿足：對任意正整數恒成立，求的最小值。

本小題主要考查數列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。

解：（Ⅰ）當時，

又

數列成等比數列，其首項，公比是

……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=

又

當

當

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數時，設

則

>

對一切大于1的奇數n恒成立

只對滿足的正奇數n成立，矛盾。

另一方面，當時，對一切的正整數n都有

事實上，對任意的正整數k，有

當n為偶數時，設

則

<

當n為奇數時，設

則

<

對一切的正整數n，都有

綜上所述，正實數的最小值為4………………………….14分

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