一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。

1．已知集合，集合為整數集，則

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，故

2．在的展開式中，含項的系數為

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】含項為

3．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上

所有的點

A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度

C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度

【答案】A

【解析】因為，故可由函數的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度得到

4．若，，則一定有

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，又，由不等式性質知：，所以

5．執行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】當時，函數的最大值為2，否則，的值為1.

6．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，則不同的排法共有

A．種 B．種 C．種 D．種

【答案】B

【解析】當最左端為甲時，不同的排法共有種；當最左端為乙時，不同的排法共有種。

共有+種

7．平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則

A． B． C． D．

【答案】D

【解析1】

因為，，所以，又

所以即

【解析2】由幾何意義知為以，為鄰邊的菱形的對角線向量，又故

8．如圖，在正方體中，點為線段的中點。設點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直線與平面所成的角為的取值范圍是，

由于，，所以的取值范圍是

9．已知，。現有下列命題：

①；②；③。其中的所有正確命題的序號是

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

【答案】C

【解析】故①正確

但左邊的，右邊的，故②不正確

當時，

令（）

因為，所以在單增，

即，又與為奇函數，所以成立故③正確

10．已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為

坐標原點），則與面積之和的最小值是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】設直線AB的方程為：，點，，又，直線AB與軸的交點（不妨假設）

由，所以

又

因為點，在該拋物線上且位于軸的兩側，所以，故

于是

當且僅當時取“”

所以與面積之和的最小值是

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。

11．復數_____________。

【答案】

【解析】

12．設是定義在R上的周期為2的函數，當時，，則 ___________。

【答案】

【解析】

13．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度BC約等于___________ 。（用四舍五入法將結果精確到個位。參考數據：，，，，）

【答案】

【解析】，

14．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是___________。

【答案】

【解析】，，因為，所以,故（當且僅當時取“”）

15．以表示值域為R的函數組成的集合，表示具有如下性質的函數組成的集合：對于函數，存在一個正數，使得函數的值域包含于區間。例如，當，時，，。現有如下命題：

①設函數的定義域為，則“”的充要條件是“，，”；

②函數的充要條件是有最大值和最小值；

③若函數，的定義域相同，且，，則；

④若函數（，）有最大值，則。

其中的真命題有___________ 。（寫出所有真命題的序號）

【答案】①③④

三．解答題：本大題共6小題，共 75分。解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16．已知函數。

（1）求的單調遞增區間；

（2）若是第二象限角，，求的值。

解：（1）由

所以的單調遞增區間為（）

（2）由

因為

所以

又是第二象限角，所以或

①由（）

所以

②由

所以

綜上，或

17．一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分（即獲得分）。設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立。

（1）設每盤游戲獲得的分數為，求的分布列；

（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？

（3）玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了。請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因。

解：（1）可能取值有，10，20，100

，，

，

故分布列為

（2）由（1）知：每盤游戲出現音樂的概率是

則玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是

（3）由（1）知，每盤游戲獲得的分數為的數學期望是

分

這說明每盤游戲平均得分是負分，由概率統計的相關知識可知：許多人經過若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而會減少。

18．三棱錐及其側視圖、俯視圖如圖所示。設，分別為線段，的中點，為線段上的點，且。

（1）證明：為線段的中點；

（2）求二面角的余弦值。

解：（1）由三棱錐及其側視圖、俯視圖可知，在三棱錐中：

平面平面，

設為的中點，連接，

于是， 所以平面

因為，分別為線段，的中點，所以，又，故

假設不是線段的中點，則直線與直線是平面內相交直線

從而平面，這與矛盾

所以為線段的中點

（2）以為坐標原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則，，，

于是，，

設平面和平面的法向量分別為和

由，設，則

由，設，則

所以二面角的余弦值

（1）若，點在函數的圖象上，求數列的前項和；

（2）若，函數的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列的前 項和。

解：（1）點在函數的圖象上，所以，又等差數列的公差為

所以

因為點在函數的圖象上，所以，所以

又，所以

（2）由

函數的圖象在點處的切線方程為

所以切線在軸上的截距為，從而，故

從而，，

所以

故

20．已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q。

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

（ii）當最小時，求點T的坐標。

解：（1）依條件

所以橢圓C的標準方程為

（2）設，，，又設中點為

（i）因為，所以直線的方程為：

所以

于是，

所以。因為

所以，，三點共線

即OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）

（ii），

所以，令（）

則（當且僅當時取“”）

所以當最小時，即或，此時點T的坐標為或

21．已知函數，其中，為自然對數的底數。

（1）設是函數的導函數，求函數在區間上的最小值；

（2）若，函數在區間內有零點，求的取值范圍

解：（1）因為 所以 又

因為， 所以：

①若，則，，

所以函數在區間上單增，

②若，則，

于是當時，當時，

所以函數在區間上單減，在區間上單增，

③若，則，

所以函數在區間上單減，

綜上：在區間上的最小值為

（2）由，又

若函數在區間內有零點，則函數在區間內至少有三個單調區間

由（1）知當或時，函數即在區間上單調，不可能滿足“函數在區間內至少有三個單調區間”這一要求。

若，則

令（）

則。由

所以在區間上單增，在區間上單減

即恒成立

于是，函數在區間內至少有三個單調區間

又 所以

綜上，的取值范圍為

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