21.（1）雙曲線C的漸近線

直線l的方程………………..6分

直線l與m的距離……….8分

（2）設過原點且平行與l的直線

則直線l與b的距離

當

又雙曲線C的漸近線為

雙曲線C的右支在直線b的右下方，

雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。

故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。

[ 證法二] 雙曲線的右支上存在點到直線的距離為，

則

由（1）得，

設

當，0………………………………..13分

將 代入（2）得 （*）

方程（*）不存在正根，即假設不成立

故在雙曲線C的右支上不存在Q，使之到直線l 的距離為…………….16分

22（1）解，函數的反函數是

而其反函數為

故函數不滿足“1和性質”

（2）設函數滿足“2和性質”，

…….6分

而得反函數………….8分

由“2和性質”定義可知=對恒成立

即所求一次函數為………..10分

（3）設，，且點在圖像上，則在函數圖象上，

故，可得， 　　．．．．．．12分

，

令，則。，即。　　　　．．．．．．14分

綜上所述，，此時，其反函數就是，

而，故與互為反函數 。 ．．．．．．16分

23．[解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分

整理后，可得，、，為整數，

不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分

（2）若，即， （*）

（ⅰ）若則。

當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。 ．．．．．．7分

（ⅱ）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數，，矛盾。

綜上所述，只有當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。．．．．．．10分

【解法二】設

則

（i）若d=0，則

（ii）若（常數）即，則d=0，矛盾

綜上所述，有， 10分

（3）

設.

，

. 13分

取 15分

由二項展開式可得正整數M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,

故當且僅當p=3s,sN時，命題成立.

說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）

若p為偶數，則am+1+am+2+……+am+p為偶數，但3k為奇數

故此等式不成立，所以，p一定為奇數。

當p=1時，則am+1=bk,即4m+5=3k，

而3k=(4-1)k

=

當ｋ為偶數時，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分

當p=3時，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,

也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1

由已證可知，當k-1為偶數即k為奇數時，存在m, 4m+9=3k成立 2分

當p=5時，則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk

也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數，所以，當p=5時，所要求的m不存在

故不是所有奇數都成立. 2分

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