解答題押題練D組
1．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acos B＝ccos B＋bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)設(shè)向量m＝(cos A，cos 2A)，n＝(12，－5)，求當(dāng)m·n取最大值時，tan C的值．
解　(1)由題意，sin Acos B＝sin Ccos B＋cos Csin B，(2分)
所以sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A．(3分)
因為0＜A＜π，所以sin A≠0.
所以cos B＝.(5分)
因為0＜B＜π，所以B＝.(6分)
(2)因為m·n＝12cos A－5cos 2A，(8分)
所以m·n＝－10cos2A＋12cos A＋5
＝－102＋.(10分)
所以當(dāng)cos A＝時，m·n取最大值．
此時sin A＝(0＜A＜)，于是tan A＝.(12分)
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝7.(14分)
2．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝[pic]2，CD＝4，E為邊DC的中點，如圖1.將△ADE沿AE折起到△AEP位置
，連PB、PC，點Q是棱AE的中點，點M在棱PC上，如圖2.
(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；
(2)若平面AEP⊥平面ABCE，點M是PC的中點，求三棱錐A -MQB的體積．
[pic]
圖1　　　　　　　　圖2　　
解　(1)連AC、BQ，設(shè)AC∩BQ＝F，連MF.
則平面PAC∩平面MQB＝MF，因為PA∥平面MQB，PA?平面PAC，所以PA∥MF.(2分)
在等腰梯形ABCD中，E為邊DC的中點，所以由題設(shè)，AB＝EC＝2.
所以四邊形ABCE為平行四邊形，則AE∥BC.(4分)
從而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.
又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)
(2)由(1)知，△AED是邊長為2的正三角形，從而PQ⊥AE.
因為平面AEP⊥平面ABCE，交線為AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.
因為PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交線為QC.(9分)
過點M作MN⊥QC于N，則MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱錐M -ABQ的高．
因為PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，[pic]所以PQ∥MN.
因為點M是PC的中點，所以MN＝PQ＝.(11分)
由(1)知，△ABE為正三角形，且邊長為2.所以，S△ABQ＝.
三棱錐A -MQB的體積VA -MQB＝VM -ABQ＝××＝.(14分)
3．如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池[pic]
，其余的地方種花，若BC＝a，∠ABC＝θ，設(shè)△ABC的面積為S1，正方形的PQRS面積為S2.
(1)用a，θ表示S1和S2；
(2)當(dāng)a固定，θ變化時，求的最小值．
解　(1)S1＝asin θ·acos θ＝a2sin 2θ，
設(shè)正方[pic]形邊長為x，則BQ＝，RC＝xtan θ，
∴＋xtan θ＋x＝a，
∴x＝＝，(4分)
S2＝2＝，(6分)
(2)當(dāng)a固定，θ變化時，
＝，
令sin 2θ＝t，
則＝(0＜t≤1)，
利用單調(diào)性求得t＝1時，min＝.(14

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