倒數第2天　附加題必做部分
[保溫特訓]
1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中點．
[pic]
[pic](1)求證：A1B⊥AM；
(2)求二面角B -AM-C的平面角的大小．
(1)證明　以點C為原點，CB、CA[pic]、[pic]CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系C－xyz，如圖所示
，
則B(1,0,0)，A(0，，0)，
A1(0，，)，M.
所以＝(1，－，－)，＝.
因為·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM.
(2)解　因為ABC -A[pic]1B1C1是直三棱[pic]柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC.
因為∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面AMC.
所以是平面AMC的一個法向量，＝(1,0,0)．
設n＝(x，y，z)是平面BAM的一個法向量，
＝(－1，，0)，＝.
由得
令z＝2，得x＝，y＝.
所以n＝(，，2)
因為||＝1，|n|＝2，
所以cos〈，n〉＝＝，
因此二面角B -AM-C的大小為45°.
2．如圖，在長方體ABCD -A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分別是棱AB，BC上的點，且EB＝FB＝1.
(1)求異面直線EC1與FD1所成角的余弦值；
(2)試在面A1B1C1D1上確定一點G，使DG⊥平面D1EF.
解　(1)以D為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正向建[pic]立空間直角坐標系，則有D(0，0,0)，D1(0,0,2)，
C1(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，
于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)．
設EC1與FD1所成角為α，則cos α＝＝＝.
∴異面直線EC1與FD1所成角的余弦值為.
(2)因點G在平面A1B1C1D1上，故可設G(x，y,2)．
＝(x，y,2)，＝(－2，－4，2)，[pic]＝(－1,1,0)．
由
得解得
故當點G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距離均為時，DG⊥D1EF.
3．某校高一、高二兩個年級進行乒乓球對抗賽，每個年級選出3名學生組成代表隊，比賽規則是：①按“單打、雙打
、單打”順序進行三盤比賽；②代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，但不能參加兩盤單打比賽．若每盤比賽中高
一、高二獲勝的概率分別為，.
(1)按比賽規則，高一年級代表隊可以派出多少種不同的出場陣容？
(2)若單打獲勝得2分，雙打獲勝得3分，求高一年級得分ξ的概率分布列和數學期望．
解　(1)先安排參加單打的隊員有A種方法，再安排參加雙打的隊員有C種方法，
所以，高一年級代表隊出場共有AC＝12種不同的陣容．
(2)ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7.
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝7)＝.
ξ的概率分布列為 ξ |0 |2 |3 |4 |5 |7 | |P | | | | | | | |所以E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝3.
4．設m，n∈N*，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.
(1)當m＝n＝2 011時，記f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011，求a0－a1＋a2－…－a2&n

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