倒數(shù)第6天　立體幾何
[保溫特訓(xùn)]
1．一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為4π，則該正方體的表面積為________．
解析　設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，則依題意有＝4π，解得R＝.因為a＝2R＝2，所以a＝2.故該正方體的面
積為6a2＝24.
答案　24
2．一塊邊長為10
cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點P為
頂點，加[pic]工成一個如圖所示的正四棱錐形容器．當(dāng)x＝6 cm時，[pic]該容器的容積為________cm3.
[pic]
解析　由題意可知道，這個正四棱錐形容器的底面是以6 cm為邊長的正方形，側(cè)高為5 cm，高為4
cm，所以所求容積為48 cm3.
答案　48
3．如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，[pic]則
該多面體的體積為________．
[pic]
解析　如圖，分別過點A、B作EF的垂線，垂足分別為G、H，連接DG、CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝
，
所以S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
所以V＝VE -ADG＋VF -BHC＋VAGD -BHC＝××＋××＋×1＝.
答案　
4．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下[pic]列命題：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；
②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；
③若α∥β，l∥α則l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.
其中真命題是______________(寫出所有真命題的序號)．
解析?、伲褐挥挟?dāng)l與m相交時，才可證明α∥β；③：l可能在平面β內(nèi)．
答案　②④
5．設(shè)α，β為兩個不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：
①若m⊥n，m⊥α，n?α則n∥α；
②若α⊥β，則α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；
③若m⊥n，m∥α，n∥β，則α⊥β；
④若n?α，m?β，α與β相交且不垂直，則n與m不垂直．
其中，所有真命題的序號是________．
解析　③錯誤，α，β相交或平行；④錯誤，n與m可以垂直，不妨令n＝α∩β，則在β內(nèi)存在m⊥n.
答案　①②
6．已知α，β是兩個不同的平面，下列四個條件：
①存在一條直線a，a[pic]⊥α，a⊥β；
②存在一個平面γ，γ⊥α，γ⊥β；
③存在兩條平行[pic]直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；
④存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.
其中是平面α∥平面β的充分條件的為________(填上所有符號要求的序號)．
解析　①正確，此時必有α∥β；②錯誤，因為此時兩平面平行或相交均可；③錯誤，當(dāng)兩直線a，b在兩平面內(nèi)分別與
[pic]兩平面的交線平行即可；④正確，由于α∥β，經(jīng)過直線α的平面與平面β交于a′，則a∥a′，即a′∥α，又b∥α，因
為a，b為異面直線，故a′，b為相交直線，由[pic]面面

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