解答題押題練A組
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面積．
解　(1)由正弦定理可設＝＝＝＝＝，
所以a＝sin A，b＝sin B，(3分)
所以＝＝.(6分)
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，(7分)
又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.
解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．(12分)
所以S△ABC＝absin C＝×4×＝.(14分)
2．如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.
[pic]
(1)求證：BF∥平面ACE；[pic]
(2)求證：BF⊥BD.
證明　(1)AC與BD交于O點，連接EO.
正方形ABCD中，BO[pic]＝AB，又因為AB＝EF[pic]，
∴BO＝EF，又因為EF∥BD，
∴EFBO是平行四邊形，
∴BF∥EO，又∵BF?平面ACE，EO?平面ACE，
∴BF∥平面ACE.(7分)
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因為正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD?平面ABCD，平面ABCD∩平面A
CE＝AC，
∴BD⊥平面ACE，∵EO?平面ACE，
∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.(14分)
3．經市場調查，某旅游城市在過去的一個月內(以30天計)，旅游人數f(t)(萬人)與時間t(天)的函數關系近似滿足
f(t)＝4＋，人均消費g(t)(元)與時間t(天)的函數關系近似滿足g(t)＝115－|t－15|.
(1)求該城市的旅游日收益w(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30，t∈N*)的函數關系式；
(2)求該城市旅游日收益的最小值(萬元)．
解　(1)由題意得，w(t)＝f(t)·g(t)＝(115－|t－15|)(1≤t≤30，t∈N*)．(5分)
(2)因為w(t)＝(7分)
①當1≤t＜15時，w(t)＝(t＋100)＝4＋401≥4×2＋401＝441，
當且僅當t＝，即t＝5時取等號．(10分)
②當15≤t≤30時，w(t)＝(130－t)＝519＋，
可證w(t)[pic]在t∈[15,30]上單調遞減，所以當t＝30時，w(t)取最小值為403.(13分)
由于403＜441[pic]，所以該城市旅游日收益的最小值為403萬元．(14分)
4．如圖，已知橢圓C：＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的兩個頂點．
(1)設P是橢圓C上任意一點，若＝m＋n，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩上動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的[pic]面積是
否為定值，說明理由．
(1)證明　易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)
設P(x0，y0)，則＋y＝1.由＝m＋n，得
所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故點Q(m，n)在定圓x2＋y2＝上．(8分)
(2)解　設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則＝－.
平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.(10分)
因為直線MN的方程為(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，
所以O到直線MN的距離為
d＝，(12分)
所以△OMN的面積S＝MN·d
＝|x1y2－x2y1|
＝
＝
＝＝1.
故△OMN的面積為定值1.(16分)
5．已知各項均為正數的[pic]數列{an}的前n項和為Sn，滿足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N[pic]*)，且a1，a2，a7依次是等
比數列{bn}的前三項．
(1)求數列{an}及{bn}的通項公式；
(2)是否存在常數a

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