倒數第3天　附加題選做部分
[保溫特訓]
1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.求證：
(1)∠AED＝∠AFD；
(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.
證明　(1)連接AD.
因為AB為圓的直徑，所以∠ADB＝90°.
又EF⊥AB，∠EFA＝90°，
則A，D，E，F四點共圓．
所以∠AED＝∠AFD.
(2)由(1)知，BD·BE＝BA·BF.
連接BC，顯然△ABC∽△AEF，
所以＝，
即AB·AF＝AE·AC，
所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝[pic]AB(BF－AF)＝AB2.
2．如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點，BC＝2，過C作圓O的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交
于點D，E，求線段AE的長．
解　在Rt△ABC中，因為AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，
因為l為過點C的切線，所以∠DCA＝∠ABC＝60°.
又因為AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.
連接OE，在△AOE中，
因為∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，
所以AE＝AO＝AB＝2.
3．求矩陣的特征值及對應的特征向量．
解　特征多項式f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3
由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，
將λ1＝1代入特征方程組，得=>x＋y＝0，
可取為屬于特征值λ1＝[pic]1的一個特征向量；
同理，當λ2＝3時，由=>x－y＝0，
所以可取為屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．
綜上所述，矩陣有兩個特征值λ1＝1，λ2＝3；
屬于λ1＝1的[pic]一個特征向量為，屬于λ2＝3的一個特征向量為.
4．在平面直角坐標系xOy中，直線x＋y＋2＝0在矩陣M＝對應的變換作用下得到直線m：x－y－4＝0，求實數a，b的
值．
解　在直線l：x＋y＋2＝0上取兩點A(－2,0)，B(0，－2)．
A、B在矩陣M對應的變換作用下分別對應于點A′，B′.
因為＝，所以點A′的坐標為(－2，－2b)；＝，所以B′的坐標為(－2a，－8)．
由題意，A′、B′在直線m：x－y－4＝0上，
所以
解得a＝2，b＝3.
5．在極坐標系中，圓C的[pic]方程為ρ＝2sin，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直[pic]
線l的參數方程為(t為參數)，判斷直線l和圓C的位置關系．
[pic]解　消去參數t，得直線l的直角坐標[pic]方程為y＝2x＋1；
ρ＝2，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，[pic]
兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsi[pic]n θ＋ρcos θ)，
得⊙C的直角坐標方程為：(x－1)2＋(x－1)2＝2，
圓心C到直線l的距離d＝＝＜，所以直線l和⊙C相交．
6．已知曲線C的極坐標方程是ρ＝2sin θ，直線l的參數方程是(t為參數)．
(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
(2)設直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求MN的最大值．
解　(1)曲線C的極坐標方程可化為ρ2＝2ρsin θ.
又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0.
(2)將直線l的參數方程化為直角坐標方程，
得y＝－(x－2)．
令y＝0，得x＝2，即M點的坐標為(2,0)．
又曲線C為圓，圓C的圓心坐標為(0,1)，
半徑r＝1，則MC＝，
所以MN≤MC＋r＝＋1，即MN的最大值為＋1.
7．解不等式|2x－4|＜4－|x|.
解　當x＞2時，原不等式同解于2x－4＜4－x，解得x＜，所以2＜x＜；
當0≤x≤2時，原不等式同解于4－2x＜4－x，解得x＞0，所以0＜x≤2；
當x＜

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