17．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由題意可得，，所以．

（Ⅱ）記從高校B抽取的2人為，從高校C抽取的3人為，則從高校B，C抽取的5人中選2人作專題發言的基本事件有

共10種．

設選中的2人都來自高校C的事件為X，則X包含的基本事件有共3種．因此．

故選中的2人都來自高校C的概率為．

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）如圖，因為，所以為異面直線與所成的角．

因為平面，所以．

而，故．

即異面直線和所成的角的正切值為．

（Ⅱ）由平面，平面，得．①

由（Ⅰ）知，，又，所以，從而．②

又，再由①，②得平面．而平面，因此平面平面．

19．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）設邊界曲線上點P的坐標為，則由知，點P在以A，B為焦點，長軸長為的橢圓上．此時短半軸長．

所以考察區域邊界曲線（如圖）的方程為．

（Ⅱ）易知過點的直線方程為．因此點A到直線的距離為

．

設經過年，點A恰好在冰川邊界線上，則利用等比數列求和公式可得

．

解得，即經過5年，點A恰好在冰川邊界線上．

20．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）表4為

1 3 5 7

4 8 12

12 20

32

它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別是4,8,16,32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列．

將這一結論推廣到表，即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列．

簡證如下（對考生不作要求）

首先，表的第1行1,3,5,…，2n-1是等差數列，其平均數為；

其次，若表的第行是等差數列，則它的第行也是等差數列．由等差數列的性質知，表的第行中的數的平均數與第行中的數的平均數分別是

．

21．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）的定義域為．

．

（1） 若，則當時，；當時，；

當時，．故分別在上單調遞增，在上單調遞減．

（2） 若，仿（1）可得分別在上單調遞增，在上單調遞減．

（Ⅱ）存在，使在上為減函數．

事實上，設，則

．

再設，則當在上單調遞減時，必在上單調遞減，所以．由于，因此．而，所以．此時，顯然有在上為減函數，當且僅當在上為減函數，在上為減函數，且．

由（Ⅰ）知，當時，在上為減函數．①

又．②

不難知道，．

因，令，則，或．而，于是

（3） 當時，若，則；若，則．因而在上單調遞增，在上單調遞減．

（4） 當時，，在上單調遞減．

綜合（1）、（2）知，當時，在上的最大值為．

所以．③

又對只有當時在取得，亦即只有當時在取得．因此，當時，在上為減函數．從而由①，②，③知，．

綜上所述，存在，使在上為減函數，且的取值范圍為．

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