17.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由題意可得,,所以
.
(Ⅱ)記從高校B抽取的2人為,從高校C抽取的3人為
,則從高校B,C抽取的5人中選2人作專題發言的基本事件有
共10種.
設選中的2人都來自高校C的事件為X,則X包含的基本事件有共3種.因此
.
故選中的2人都來自高校C的概率為.
18.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)如圖,因為,所以
為異面直線
與
所成的角.
因為平面
,所以
.
而,故
.
即異面直線和
所成的角的正切值為
.
(Ⅱ)由平面
,
平面
,得
.①
由(Ⅰ)知,,又
,所以
,從而
.②
又,再由①,②得
平面
.而
平面
,因此平面
平面
.
19.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)設邊界曲線上點P的坐標為,則由
知,點P在以A,B為焦點,長軸長為
的橢圓上.此時短半軸長
.
所以考察區域邊界曲線(如圖)的方程為.
(Ⅱ)易知過點的直線方程為
.因此點A到直線
的距離為
.
設經過年,點A恰好在冰川邊界線上,則利用等比數列求和公式可得
.
解得,即經過5年,點A恰好在冰川邊界線上.
20.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)表4為
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別是4,8,16,32,它們構成首項為4,公比為2的等比數列.
將這一結論推廣到表,即表
各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為
,公比為2的等比數列.
簡證如下(對考生不作要求)
首先,表的第1行1,3,5,…,2n-1是等差數列,其平均數為
;
其次,若表的第
行
是等差數列,則它的第
行
也是等差數列.由等差數列的性質知,表
的第
行中的數的平均數與第
行中的數的平均數分別是
.
21.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)的定義域為
.
.
(1) 若,則當
時,
;當
時,
;
當時,
.故
分別在
上單調遞增,在
上單調遞減.
(2) 若,仿(1)可得
分別在
上單調遞增,在
上單調遞減.
(Ⅱ)存在,使
在
上為減函數.
事實上,設,則
.
再設,則當
在
上單調遞減時,
必在
上單調遞減,所以
.由于
,因此
.而
,所以
.此時,顯然有
在
上為減函數,當且僅當
在
上為減函數,
在
上為減函數,且
.
由(Ⅰ)知,當時,
在
上為減函數.①
又.②
不難知道,.
因,令
,則
,或
.而
,于是
(3) 當時,若
,則
;若
,則
.因而
在
上單調遞增,在
上單調遞減.
(4) 當時,
,
在
上單調遞減.
綜合(1)、(2)知,當
時,
在
上的最大值為
.
所以.③
又對只有當
時在
取得,亦即
只有當
時在
取得.因此,當
時,
在
上為減函數.從而由①,②,③知,
.
綜上所述,存在,使
在
上為減函數,且
的取值范圍為
.