21.(本小題滿分13分）

如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長等于的長半軸長。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）設與軸的交點為M，過坐標原點O的直線與相交于點A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.

（i）證明：；

(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?

請說明理由。

解析：（I）由題意知，從而，又，解得。

故，的方程分別為。

（II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設為，則直線的方程為.

由得，

設，則是上述方程的兩個實根，于是。

又點的坐標為，所以

故，即。

（ii）設直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的坐標為

又直線的斜率為 ，同理可得點B的坐標為.

于是

由得，

解得或，則點的坐標為；

又直線的斜率為，同理可得點的坐標

于是

因此

由題意知，解得 或。

又由點的坐標可知，，所以

故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。

22.（本小題滿分13分）

已知函數() =，g ()=+。

（Ⅰ）求函數h ()=()-g ()的零點個數，并說明理由；

（Ⅱ）設數列滿足，，證明：存在常數M,使得對于任意的，都有≤ .

解析：（I）由知，，而，且，則為的一個零點，且在內有零點，因此至少有兩個零點

解法1：，記，則。

當時，，因此在上單調遞增，則在內至多只有一個零點。又因為，則在內有零點，所以在內有且只有一個零點。記此零點為，則當時，；當時，；

所以，

當時，單調遞減，而，則在內無零點；

當時，單調遞增，則在內至多只有一個零點；

從而在內至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。

解法2：，記，則。

當時，，因此在上單調遞增，則在內至多只有一個零點。因此在內也至多只有一個零點，

綜上所述，有且只有兩個零點。

（II）記的正零點為，即。

（1）當時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數學歸納法證明：

①當時，顯然成立；

②假設當時，有成立，則當時，由

知，，因此，當時，成立。

故對任意的，成立。

（2）當時，由（1）知，在上單調遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數學歸納法證明：

①當時，顯然成立；

②假設當時，有成立，則當時，由

知，，因此，當時，成立。

故對任意的，成立。

綜上所述，存在常數，使得對于任意的，都有.

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