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2011年高考數學真題附答案(湖南卷+理科)

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21.(本小題滿分13分)

如圖7,橢圓 的離心率為  軸被曲線 截得的線段長等于 的長半軸長。

(Ⅰ)求  的方程;

(Ⅱ)設  軸的交點為M,過坐標原點O的直線  相交于點A,B,直線MA,MB分別與 相交與D,E.

(i)證明:

(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是 .問:是否存在直線 ,使得 = ?

請說明理由。

解析:(I)由題意知 ,從而 ,又,解得

  的方程分別為

(II)(i)由題意知,直線 的斜率存在,設為 ,則直線 的方程為 .

 ,則 是上述方程的兩個實根,于是

又點 的坐標為 ,所以

 ,即

(ii)設直線的斜率為,則直線的方程為,由 解得  ,則點的坐標為

又直線的斜率為 ,同理可得點B的坐標為.

于是

解得 ,則點的坐標為

又直線的斜率為,同理可得點的坐標

于是

因此

由題意知,解得

又由點的坐標可知,,所以

故滿足條件的直線存在,且有兩條,其方程分別為

22.(本小題滿分13分)

已知函數 ( ) = ,g ( )= +

(Ⅰ)求函數h ( )= ( )-g ( )的零點個數,并說明理由;

(Ⅱ)設數列 滿足  ,證明:存在常數M,使得對于任意的,都有  .

解析:(I)由 知, ,而 ,且 ,則  的一個零點,且  內有零點,因此 至少有兩個零點

解法1: ,記 ,則

 時, ,因此  上單調遞增,則  內至多只有一個零點。又因為 ,則  內有零點,所以  內有且只有一個零點。記此零點為 ,則當 時, ;當 時,

所以,

 時, 單調遞減,而 ,則  內無零點;

 時, 單調遞增,則  內至多只有一個零點;

從而  內至多只有一個零點。綜上所述, 有且只有兩個零點。

解法2: ,記 ,則

 時, ,因此  上單調遞增,則  內至多只有一個零點。因此  內也至多只有一個零點,

綜上所述, 有且只有兩個零點。

(II)記 的正零點為 ,即

(1)當 時,由 ,即 .而 ,因此 ,由此猜測: 。下面用數學歸納法證明:

①當 時, 顯然成立;

②假設當 時,有 成立,則當 時,由

 知, ,因此,當 時, 成立。

故對任意的  成立。

(2)當 時,由(1)知,  上單調遞增。則 ,即 。從而 ,即 ,由此猜測: 。下面用數學歸納法證明:

①當 時, 顯然成立;

②假設當 時,有 成立,則當 時,由

 知, ,因此,當 時, 成立。

故對任意的  成立。

綜上所述,存在常數 ,使得對于任意的 ,都有 .

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