21.(本小題滿分13分)
如圖7,橢圓的離心率為
,
軸被曲線
截得的線段長等于
的長半軸長。
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)設與
軸的交點為M,過坐標原點O的直線
與
相交于點A,B,直線MA,MB分別與
相交與D,E.
(i)證明:;
(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問:是否存在直線
,使得
=
?
請說明理由。
解析:(I)由題意知,從而
,又
,解得
。
故,
的方程分別為
。
(II)(i)由題意知,直線的斜率存在,設為
,則直線
的方程為
.
由得
,
設,則
是上述方程的兩個實根,于是
。
又點的坐標為
,所以
故,即
。
(ii)設直線的斜率為,則直線的方程為
,由
解得
或
,則點的坐標為
又直線的斜率為
,同理可得點B的坐標為
.
于是
由得
,
解得或
,則點
的坐標為
;
又直線的斜率為,同理可得點
的坐標
于是
因此
由題意知,解得
或
。
又由點的坐標可知,
,所以
故滿足條件的直線存在,且有兩條,其方程分別為
和
。
22.(本小題滿分13分)
已知函數(
) =
,g (
)=
+
。
(Ⅰ)求函數h ()=
(
)-g (
)的零點個數,并說明理由;
(Ⅱ)設數列滿足
,
,證明:存在常數M,使得對于任意的
,都有
≤
.
解析:(I)由知,
,而
,且
,則
為
的一個零點,且
在
內有零點,因此
至少有兩個零點
解法1:,記
,則
。
當時,
,因此
在
上單調遞增,則
在
內至多只有一個零點。又因為
,則
在
內有零點,所以
在
內有且只有一個零點。記此零點為
,則當
時,
;當
時,
;
所以,
當時,
單調遞減,而
,則
在
內無零點;
當時,
單調遞增,則
在
內至多只有一個零點;
從而在
內至多只有一個零點。綜上所述,
有且只有兩個零點。
解法2:,記
,則
。
當時,
,因此
在
上單調遞增,則
在
內至多只有一個零點。因此
在
內也至多只有一個零點,
綜上所述,有且只有兩個零點。
(II)記的正零點為
,即
。
(1)當時,由
,即
.而
,因此
,由此猜測:
。下面用數學歸納法證明:
①當時,
顯然成立;
②假設當時,有
成立,則當
時,由
知,
,因此,當
時,
成立。
故對任意的,
成立。
(2)當時,由(1)知,
在
上單調遞增。則
,即
。從而
,即
,由此猜測:
。下面用數學歸納法證明:
①當時,
顯然成立;
②假設當時,有
成立,則當
時,由
知,
,因此,當
時,
成立。
故對任意的,
成立。
綜上所述,存在常數,使得對于任意的
,都有
.