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2011年高考數(shù)學(xué)真題附答案(湖南卷+理科)

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21.(本小題滿分13分)

如圖7,橢圓 的離心率為  軸被曲線 截得的線段長(zhǎng)等于 的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。

(Ⅰ)求  的方程;

(Ⅱ)設(shè)  軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線  相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與 相交與D,E.

(i)證明:

(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是 .問:是否存在直線 ,使得 = ?

請(qǐng)說明理由。

解析:(I)由題意知 ,從而 ,又,解得

  的方程分別為

(II)(i)由題意知,直線 的斜率存在,設(shè)為 ,則直線 的方程為 .

設(shè) ,則 是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,于是

又點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,所以

 ,即

(ii)設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,由 解得  ,則點(diǎn)的坐標(biāo)為

又直線的斜率為 ,同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

于是

解得 ,則點(diǎn)的坐標(biāo)為

又直線的斜率為,同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)

于是

因此

由題意知,解得

又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知,,所以

故滿足條件的直線存在,且有兩條,其方程分別為

22.(本小題滿分13分)

已知函數(shù) ( ) = ,g ( )= +

(Ⅰ)求函數(shù)h ( )= ( )-g ( )的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列 滿足  ,證明:存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的,都有  .

解析:(I)由 知, ,而 ,且 ,則  的一個(gè)零點(diǎn),且  內(nèi)有零點(diǎn),因此 至少有兩個(gè)零點(diǎn)

解法1: ,記 ,則

當(dāng) 時(shí), ,因此  上單調(diào)遞增,則  內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?img onmouseover='upNext(this)' title="1416806957229274.gif" src="http://pic.kekenet.com/2014/1124/1416807029680573.gif" alt=" "/>,則  內(nèi)有零點(diǎn),所以  內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為 ,則當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí),

所以,

當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞減,而 ,則  內(nèi)無零點(diǎn);

當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞增,則  內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn);

從而  內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述, 有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

解法2: ,記 ,則

當(dāng) 時(shí), ,因此  上單調(diào)遞增,則  內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此  內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn),

綜上所述, 有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

(II)記 的正零點(diǎn)為 ,即

(1)當(dāng) 時(shí),由 ,即 .而 ,因此 ,由此猜測(cè): 。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng) 時(shí), 顯然成立;

②假設(shè)當(dāng) 時(shí),有 成立,則當(dāng) 時(shí),由

 知, ,因此,當(dāng) 時(shí), 成立。

故對(duì)任意的  成立。

(2)當(dāng) 時(shí),由(1)知,  上單調(diào)遞增。則 ,即 。從而 ,即 ,由此猜測(cè): 。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng) 時(shí), 顯然成立;

②假設(shè)當(dāng) 時(shí),有 成立,則當(dāng) 時(shí),由

 知, ,因此,當(dāng) 時(shí), 成立。

故對(duì)任意的  成立。

綜上所述,存在常數(shù) ,使得對(duì)于任意的 ,都有 .

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