21.(本小題滿分13分)
如圖7,橢圓的離心率為
,
軸被曲線
截得的線段長(zhǎng)等于
的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)設(shè)與
軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線
與
相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與
相交與D,E.
(i)證明:;
(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問:是否存在直線
,使得
=
?
請(qǐng)說明理由。
解析:(I)由題意知,從而
,又
,解得
。
故,
的方程分別為
。
(II)(i)由題意知,直線的斜率存在,設(shè)為
,則直線
的方程為
.
由得
,
設(shè),則
是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,于是
。
又點(diǎn)的坐標(biāo)為
,所以
故,即
。
(ii)設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為
,由
解得
或
,則點(diǎn)的坐標(biāo)為
又直線的斜率為
,同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為
.
于是
由得
,
解得或
,則點(diǎn)
的坐標(biāo)為
;
又直線的斜率為,同理可得點(diǎn)
的坐標(biāo)
于是
因此
由題意知,解得
或
。
又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知,
,所以
故滿足條件的直線存在,且有兩條,其方程分別為
和
。
22.(本小題滿分13分)
已知函數(shù)(
) =
,g (
)=
+
。
(Ⅰ)求函數(shù)h ()=
(
)-g (
)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足
,
,證明:存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的
,都有
≤
.
解析:(I)由知,
,而
,且
,則
為
的一個(gè)零點(diǎn),且
在
內(nèi)有零點(diǎn),因此
至少有兩個(gè)零點(diǎn)
解法1:,記
,則
。
當(dāng)時(shí),
,因此
在
上單調(diào)遞增,則
在
內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?img onmouseover='upNext(this)' title="1416806957229274.gif" src="http://pic.kekenet.com/2014/1124/1416807029680573.gif" alt=" "/>,則
在
內(nèi)有零點(diǎn),所以
在
內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為
,則當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;
所以,
當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞減,而
,則
在
內(nèi)無零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增,則
在
內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn);
從而在
內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述,
有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。
解法2:,記
,則
。
當(dāng)時(shí),
,因此
在
上單調(diào)遞增,則
在
內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此
在
內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn),
綜上所述,有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。
(II)記的正零點(diǎn)為
,即
。
(1)當(dāng)時(shí),由
,即
.而
,因此
,由此猜測(cè):
。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時(shí),
顯然成立;
②假設(shè)當(dāng)時(shí),有
成立,則當(dāng)
時(shí),由
知,
,因此,當(dāng)
時(shí),
成立。
故對(duì)任意的,
成立。
(2)當(dāng)時(shí),由(1)知,
在
上單調(diào)遞增。則
,即
。從而
,即
,由此猜測(cè):
。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時(shí),
顯然成立;
②假設(shè)當(dāng)時(shí),有
成立,則當(dāng)
時(shí),由
知,
,因此,當(dāng)
時(shí),
成立。
故對(duì)任意的,
成立。
綜上所述,存在常數(shù),使得對(duì)于任意的
,都有
.