21.(本小題滿分13分）

如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.

（i）證明：；

(ii)記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?

請(qǐng)說明理由。

解析：（I）由題意知，從而，又，解得。

故，的方程分別為。

（II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.

由得，

設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是。

又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以

故，即。

（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

又直線的斜率為 ，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

于是

由得，

解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；

又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)

于是

因此

由題意知，解得 或。

又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，，所以

故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。

22.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)() =，g ()=+。

（Ⅰ）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的，都有≤ .

解析：（I）由知，，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)

解法1：，記，則。

當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?img onmouseover='upNext(this)' title="1416806957229274.gif" src="http://pic.kekenet.com/2014/1124/1416807029680573.gif" alt=" "/>，則在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；

從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

解法2：，記，則。

當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。

（II）記的正零點(diǎn)為，即。

（1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由

知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。

故對(duì)任意的，成立。

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由

知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。

故對(duì)任意的，成立。

綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有.

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