19．（本題滿分12分）

如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點．

（I）證明：

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

（II）由（I）知，又所以平面在平面中，過作則連結，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角．

在

在

20．（本題滿分13分）

某企業在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%．

（I）求第n年初M的價值的表達式；

（II）設若大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新，證明：須在第9年初對M更新．

解析：（I）當時，數列是首項為120，公差為的等差數列．

當時，數列是以為首項，公比為為等比數列，又，所以

因此，第年初，M的價值的表達式為

(II)設表示數列的前項和，由等差及等比數列的求和公式得

當時，

當時，

因為是遞減數列，所以是遞減數列，又

所以須在第9年初對M更新．

21．已知平面內一動點到點F（1，0）的距離與點到軸的距離的等等于1．

（I）求動點的軌跡的方程；

（II）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值．

（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為．

由，得

設則是上述方程的兩個實根，于是

．

因為，所以的斜率為．

設則同理可得

故

當且僅當即時，取最小值16．

22．（本小題13分）

設函數

(I)討論的單調性；

（II）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

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