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19.（本小題滿分12分）
如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.
（Ⅰ）證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.
【解析】（Ⅰ）因為
又
是平面PAC內的兩條相較直線，所以BD
平面PAC，
而
平面PAC，所以
.
（Ⅱ）設AC和BD相交于點O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，
所以
是直線PD和平面PAC所成的角，從而
.
由BD平面PAC，
平面PAC，知
.
在
中，由，得PD=2OD.
因為四邊形ABCD為等腰梯形，
，所以
均為等腰直角三角形，
從而梯形ABCD的高為
于是梯形ABCD面積
在等腰三角形ＡＯＤ中，
所以
故四棱錐
的體積為
.
【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由
算得體積.
20.（本小題滿分13分）
某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產.該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為an萬元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出
與an的關系式；
（Ⅱ）若公司希望經過m（m≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值（用m表示）.
【解析】（Ⅰ）由題意得
，
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
整理得 
.
由題意，
解得
.
故該企業每年上繳資金
的值為繳
時，經過
年企業的剩余資金為４０００元.
【點評】本題考查遞推數列問題在實際問題中的應用，考查運算能力和使用數列知識分析解決實際問題的能力.第一問建立數學模型，得出與an的關系式
，第二問，只要把第一問中的迭代，即可以解決.
21.（本小題滿分13分）
在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為
的橢圓E的一個焦點為圓C：x2+y2-4x+2=0的圓心.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標.
【解析】（Ⅰ）由
，得
.故圓Ｃ的圓心為點
從而可設橢圓Ｅ的方程為
其焦距為
，由題設知
故橢圓Ｅ的方程為：
（Ⅱ）設點
的坐標為
，
的斜分率分別為
則的方程分別為
且
由
與圓
相切，得
，
即 
同理可得 
.
從而
是方程
的兩個實根，于是
①
且
由
得
解得
或
由
得
由
得
它們滿足①式，故點Ｐ的坐標為
，或
，或
，或
.
【點評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關系，考查運算能力，考查數形結合思想、函數與方程思想等數學思想方法.第一問根據條件設出橢圓方程，求出
即得橢圓E的方程，第二問設出點P坐標，利用過P點的兩條直線斜率之積為，得出關于點P坐標的一個方程，利用點P在橢圓上得出另一方程，聯立兩個方程得點P坐標.
22.（本小題滿分13分）
已知函數f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當
時
單調遞減；當
時
單調遞增，故當
時，
取最小值
于是對一切
恒成立，當且僅當
. ①
令
則
當
時，
單調遞增；當
時，
單調遞減.
故當
時，
取最大值
.因此，當且僅當
時，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.
當
時，
單調遞減；當
時，
單調遞增.
故當
，
即
從而
，
又
所以
因為函數
在區間
上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.
