18.（本小題滿分12分）

如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點.

（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】

解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中點，所以

所以

而內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）過點Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是為直線ＰＢ與平面PAE

所成的角，且.

由知，為直線與平面所成的角.

由題意，知

因為所以

由所以四邊形是平行四邊形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面積為所以四棱錐的體積為

解法2：如圖（2），以A為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系.設則相關的各點坐標為：

（Ⅰ）易知因為

所以而是平面內的兩條相交直線，所以

(Ⅱ)由題設和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與

所成的角和PB與所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.

又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為

.

【點評】本題考查空間線面垂直關系的證明，考查空間角的應用，及幾何體體積計算.第一問只要證明即可，第二問算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積，或者建立空間直角坐標系，求得高幾體積.

19.（本小題滿分12分）

已知數列{an}的各項均為正數，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……

（1） 若a1=1，a2=5，且對任意n∈N﹡，三個數A（n），B（n），C（n）組成等差數列，求數列{ an }的通項公式.

（2） 證明：數列{ an }是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列.

【解析】

解（１）對任意,三個數是等差數列，所以

即亦即

故數列是首項為１，公差為４的等差數列.于是

（Ⅱ）（１）必要性：若數列是公比為ｑ的等比數列，則對任意，有

由知，均大于０，于是

即＝＝，所以三個數組成公比為的等比數列.

（２）充分性：若對于任意，三個數組成公比為的等比數列，

則

　　　，

于是得即

由有即，從而.

因為，所以，故數列是首項為，公比為的等比數列，

綜上所述，數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數組成公比為的等比數列.

【點評】本題考查等差數列、等比數列的定義、性質及充要條件的證明.第一問由等差數列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數列的定義及性質易得證.

20.（本小題滿分13分）

某企業接到生產3000臺某產品的A，B，Ｃ三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為２,２,１（單位：件）.已知每個工人每天可生產Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.該企業計劃安排２００名工人分成三組分別生產這三種部件，生產Ｂ部件的人數與生產Ａ部件的人數成正比，比例系數為k（k為正整數）.

（１）設生產Ａ部件的人數為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產需要的時間；

（２）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數k的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案.

【解析】

解：（Ⅰ）設完成A,B,C三種部件的生產任務需要的時間（單位：天）分別為

由題設有

期中均為1到200之間的正整數.

（Ⅱ）完成訂單任務的時間為其定義域為

易知，為減函數，為增函數.注意到

于是

（1）當時， 此時

，

由函數的單調性知，當時取得最小值，解得

.由于

.

故當時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為.

（2）當時， 由于為正整數，故，此時易知為增函數，則

.

由函數的單調性知，當時取得最小值，解得.由于

此時完成訂單任務的最短時間大于.

（3）當時， 由于為正整數，故，此時由函數的單調性知，

當時取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時

完成訂單任務的最短時間為，大于.

綜上所述，當時完成訂單任務的時間最短，此時生產Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數

分別為44,88,68.

【點評】本題為函數的應用題，考查分段函數、函數單調性、最值等，考查運算能力及用數學知識分析解決實際應用問題的能力.第一問建立函數模型；第二問利用單調性與最值來解決，體現分類討論思想.

21.（本小題滿分13分）

在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.

（Ⅰ）求曲線C1的方程；

（Ⅱ）設P(x0,y0)（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.

【解析】（Ⅰ）解法1 ：設M的坐標為，由已知得

，

易知圓上的點位于直線的右側.于是，所以

.

化簡得曲線的方程為.

解法2 ：由題設知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為.

（Ⅱ）當點P在直線上運動時，P的坐標為，又，則過P且與圓

相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為.于是

整理得

①

設過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根，故

②

由得 ③

設四點A,B,C,D的縱坐標分別為，則是方程③的兩個實根，所以

④

同理可得

⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，當P在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6400.

【點評】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關系，考查運算能力，考查數形結合思想、函數與方程思想等數學思想方法.第一問用直接法或定義法求出曲線的方程；第二問設出切線方程，把直線與曲線方程聯立，由一元二次方程根與系數的關系得到四點縱坐標之積為定值，體現“設而不求”思想.

22.（本小題滿分13分）

已知函數=，其中a≠0.

（1） 若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.

（2）在函數的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【解析】（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設矛盾，又，

故.

而令

當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當

　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當即時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，

令則

令，則.

當時，單調遞減；當時，單調遞增.

故當，即

從而，又

所以

因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且.故當且僅當時， .

綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為

.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想，轉化與劃歸思想等數學思想方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為，從而得出a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，通過構造函數，研究這個函數的單調性及最值來進行分析判斷.

點擊此處下載文檔(rar格式，540.55KB)