16. （共14分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求證：平面PAC；

（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.

【解析】：證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，所以又因為平面。所以，

所以平面。

（Ⅱ）設，因為

所以，如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，則所設與所成角為，則

（Ⅲ）由（Ⅱ）知設。則設平面的法

向量則，所以令則，

所以同理，平面的法向量，因為平面，所以，即解得，所以

17.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數。乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，

在圖中以X表示。

（1）如果，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；

（2）如果，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數Y的分布列和數學期望。（注：方差，其中為，，…，的平均數）

【解析】：（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，

所以平均數為

方差為

（Ⅱ）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是：9，8，9，10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4×4=16種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為17，18，19，20，21事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結果，因此P（Y=17）=

同理可得

所以隨機變量Y的分布列為：

==19

18.已知函數.(1)求的單調區間；(2)若對，，都有，求的取值范圍。

【解析】：（Ⅰ），令，當時，的情況如下：

所以，的單調遞增區間是和：單調遞減區間是，當時，與的情況如下：

所以，的單調遞減區間是和：單調遞減區間是。

（Ⅱ）當時，因為，所以不會有當時，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等價于， 解得故當時，的取值范圍是[，0]。

19.已知橢圓G：，過點（m，0）作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點。

（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（2）將表示為m的函數，并求的最大值。

【解析】：：（Ⅰ）由已知得 所以所以橢圓的焦點坐標為 ，離心率為

（Ⅱ）（Ⅱ）由題意知，.當時，切線l的方程，點A、B的坐標分別為此時當m=－1時，同理可得

當時，設切線l的方程為由

設A、B兩點的坐標分別為，則又由l與圓所以

由于當時，

所以.因為

且當時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2

20.若數列：，，…，滿足（，2，…，），則稱為E數列。記.（1）寫出一個滿足，且的E數列；（2）若，，證明：E數列是遞增數列的充要條件是；（3）對任意給定的整數，是否存在首項為0的E數列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A5）

（Ⅱ）必要性：因為E數列A5是遞增數列，所以.所以A5是首項為12，公差為1的等差數列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a10001，a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999，即a2000a1+1999.又因為a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。

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