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2013年普通高等學校招生全國統一考試
數學（文）（北京卷）參考答案
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）
9．
，
10．
11．，
12．
13．
14．
三、解答題（共6小題，共80分。解答應寫出必要的文字說明，演算步驟）
15．（本小題共13分）
解：（1）
所以，最小正周期
當
（
），即
（）時
（2）因為
所以
因為
，所以
所以
，即
16．（本小題共13分）
解：（1）因為要停留2天，所以應該在3月1日至13日中的某天到達，共有13種選擇，其間重度污染的有兩天，
所以概率為
（2）此人停留的兩天共有13種選擇，分別是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
其中只有一天重度污染的為，，，，共4種，
所以概率為
（3）因為第5，6，7三天的空氣質量指數波動最大，所以方差最大。
17．（本小題共14分）
證明：（1）因為
，平面
底面
且平面
底面
所以
底面
（2）因為
和
分別是
和
的中點，所以
，
而
平面
，
平面，所以
平面
（3）因為底面， 
平面
所以
，即
因為
，
，所以
而
平面，
平面，且
所以
平面
因為
，所以
，所以四邊形
是平行四邊形，
所以
，而
平面，平面
所以平面，同理平面，
而
平面
，
平面且
所以平面
平面， 所以平面
又因為平面
所以平面
平面
18．（本小題共13分）
解：（1）
因為曲線
在點
處的切線為
所以
，即
，解得
（2）因為
所以當
時
，
單調遞增
當
時
，單調遞減
所以當
時，取得最小值
，
所以
的取值范圍是
19．（本小題共14分）
解：（1）線段
的垂直平分線為
，
因為四邊形
為菱形，
所以直線與橢圓的交點即為
，
兩點
對橢圓
，令得
所以
（2）方法一：當點
不是
的頂點時，
聯立方程
得
設
，
，
則
，
，
若四邊形為菱形，則
，即
所以
即
因為點不是的頂點，所以
，
所以
即
，即
所以
此時，直線
與
軸垂直，所以為橢圓的上頂點或下頂點，與已知矛盾，
所以四邊形不可能為菱形
方法二：
因為四邊形為菱形，所以，
設
（
）
則，兩點為圓
與橢圓的交點
聯立方程
得
所以，兩點的橫坐標相等或互為相反數。
因為點在上
若，兩點的橫坐標相等，點應為橢圓的左頂點或右頂點。不合題意。
若，兩點的橫坐標互為相反數，點應為橢圓的上頂點或下頂點。不合題意。
所以四邊形不可能為菱形。
20．（本小題共13分）
解：（1）
，
，
（2）因為
，
，
，
（
）是公比大于
的等比數列，且
所以
所以當
時，
所以當
時，
所以
，
，，
是等比數列。
（3）若，，，是公差大于
的等差數列，則
，，，
應是遞增數列，證明如下：
設
是第一個使得
的項，則
，
，所以
，與已知矛盾。
所以，，，，是遞增數列
再證明數列
中最小項，否則
（），則
顯然
，否則
，與
矛盾
因而
，此時考慮
，矛盾
因此是數列中最小項
綜上，
（）
于是
，也即，，，是等差數列
