(16)以知F是雙曲線的左焦點,
是雙曲線右支上的動點,則
的最小值為 。
【解析】注意到P點在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點為F’(4,0),
于是由雙曲線性質|PF|-|PF’|=2a=4
而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5
兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當且僅當A、P、F’三點共線時等號成立.
【答案】9
(17)(本小題滿分12分)
如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內,B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為,
,于水面C處測得B點和D點的仰角均為
,AC=0.1km。試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點間距離相等,然后求B,D的距離(計算結果精確到0.01km,
1.414,
2.449)
(17)解:
在△ABC中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA, ……5分
在△ABC中,
即AB=
因此,BD=
故B,D的距離約為0.33km。 ……12分
(18)(本小題滿分12分)
如圖,已知兩個正方行ABCD 和DCEF不在同一平面內,M,N分別為AB,DF的中點 。
(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF,求直線MN與平面DCEF所成角的正值弦;
(II)用反證法證明:直線ME 與 BN 是兩條異面直線。
(18)(I)解法一:
取CD的中點G,連接MG,NG。
設正方形ABCD,DCEF的邊長為2,
則MG⊥CD,MG=2,NG=.
因為平面ABCD⊥平面DCED,
所以MG⊥平面DCEF,
可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角。因為MN=,所以sin∠MNG=
為MN與平面DCEF所成角的正弦值 ……6分
解法二:
設正方形ABCD,DCEF的邊長為2,以D為坐標原點,分別以射線DC,DF,DA為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖.
則M(1,0,2),N(0,1,0),可得
=(-1,1,2).
又=(0,0,2)為平面DCEF的法向量,
可得cos(,
)=
·
所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為
cos· ……6分
(Ⅱ)假設直線ME與BN共面, ……8分
則AB平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN
由已知,兩正方形不共面,故AB平面DCEF。
又AB//CD,所以AB//平面DCEF。面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線,
所以AB//EN。
又AB//CD//EF,
所以EN//EF,這與EN∩EF=E矛盾,故假設不成立。
所以ME與BN不共面,它們是異面直線. ……12分
(19)(本小題滿分12分)
某人向一目射擊4次,每次擊中目標的概率為。該目標分為3個不同的部分,第一、二、三部分面積之比為1:3:6。擊中目標時,擊中任何一部分的概率與其面積成正比。
(Ⅰ)設X表示目標被擊中的次數,求X的分布列;
(Ⅱ)若目標被擊中2次,A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”,求P(A)
(19)解:
(Ⅰ)依題意X的分列為
………………6分
(Ⅱ)設A1表示事件“第一次擊中目標時,擊中第i部分”,i=1,2.
B1表示事件“第二次擊中目標時,擊中第i部分”,i=1,2.
依題意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,
,
所求的概率為
………12分