16．（本小題共14分）

如圖，四棱錐的底面是正方形，，點E在棱PB上.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.

【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．

（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，

∴O，E分別為DB、PB的中點，

∴OE//PD，，又∵，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，，

∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為.

【解法2】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，

設

則，

（Ⅰ）∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）當且E為PB的中點時，，

設AC∩BD=O，連接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，

∵，

∴，

∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為.

17．（本小題共13分）

某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.

（Ⅰ）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；

（Ⅱ）這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min的概率.

【解析】本題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力.

（Ⅰ）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A，因為事件A等于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.

（Ⅱ）設這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間至多是4min為事件B，這名學生在上學路上遇到次紅燈的事件.

則由題意，得，

.

由于事件B等價于“這名學生在上學路上至多遇到兩次紅燈”，

∴事件B的概率為.

18．（本小題共14分）

設函數.

（Ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求的值；

（Ⅱ）求函數的單調區間與極值點.

【解析】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．

（Ⅰ）,

∵曲線在點處與直線相切，

∴

（Ⅱ）∵,

當時，，函數在上單調遞增，

此時函數沒有極值點.

當時，由，

當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

∴此時是的極大值點，是的極小值點.

19．（本小題共14分）

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為。

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求m的值.

【解析】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程

的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．

（Ⅰ）由題意，得，解得，

∴，∴所求雙曲線的方程為.

（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為，線段AB的中點為，

由得（判別式）,

∴,

∵點在圓上，

∴，∴.

20．（本小題共13分）

設數列的通項公式為. 數列定義如下：對于正整數m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，求數列的前2m項和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

【解析】本題主要考查數列的概念、數列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、

分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式綜合的較難層次題.

（Ⅰ）由題意，得，解，得.

∴成立的所有n中的最小整數為7，即.

（Ⅱ）由題意，得，

對于正整數，由，得.

根據的定義可知

當時，；當時，.

∴

.

（Ⅲ）假設存在p和q滿足條件，由不等式及得.

∵,根據的定義可知，對于任意的正整數m 都有

，即對任意的正整數m都成立.

當（或）時，得（或），

這與上述結論矛盾！

當，即時，得，解得.

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范圍分別是，.

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