21．（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分 .有時可用函數

描述學習某學科知識的掌握程度.其中表示某學科知識的學習次數（），表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關.

（1）證明：當x 7時，掌握程度的增長量f（x+1）- f(x)總是下降；

（2）根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為（115，121］,(121,127］,

(127,133］.當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科.

21題。證明（1）當時，

而當時，函數單調遞增，且

故函數單調遞減

當時，掌握程度的增長量總是下降

(2)有題意可知

整理得

解得…….13分

由此可知，該學科是乙學科……………..14分

22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分.

已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F，一條漸近線m:,設過點A的直線l的方向向量。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；

（3）證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.

22．【解】（1）設雙曲線的方程為

，解額雙曲線的方程為

（2）直線，直線

由題意，得，解得

（3）【證法一】設過原點且平行于的直線

則直線與的距離當時，

又雙曲線的漸近線為

雙曲線的右支在直線的右下方，

雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于。

故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為

【證法二】假設雙曲線右支上存在點到直線的距離為，

則

由（1）得

設，

當時，；

將代入（2）得

，

方程不存在正根，即假設不成立，

故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為

23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.

已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列

（1）若 ，是否存在，有？請說明理由；

（2）若（a、q為常數，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；

（3）若試確定所有的p,使數列中存在某個連續p項的和式數列中的一項，請證明.

23．【解】（1）由得，

整理后，可得

、，為整數

不存在、，使等式成立。

（2）當時，則

即，其中是大于等于的整數

反之當時，其中是大于等于的整數，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數

（3）設

當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，

當為偶數時，式不成立。

由式得，整理得

當時，符合題意。

當，為奇數時，

由，得

當為奇數時，此時，一定有和使上式一定成立。

當為奇數時，命題都成立。

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