2014年高考數學真題附答案(理科+上海卷)

三．解答題（本大題共5題，滿分74分）

19、（本題滿分12分）

底面邊長為2的正三棱錐,其表面展開圖是三角形，如圖，求△的各邊長及此三棱錐的體積.

（本題滿分14分）本題有2個小題，第一小題滿分6分，第二小題滿分1分。

設常數，函數

若=4，求函數的反函數；

根據的不同取值，討論函數的奇偶性，并說明理由.

（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖，某公司要在兩地連線上的定點處建造廣告牌，其中為頂端，長35米，長80米，設在同一水平面上，從和看的仰角分別為.

設計中是鉛垂方向，若要求，問的長至多為多少（結果精確到0.01米）？

施工完成后.與鉛垂方向有偏差，現在實測得求的長（結果精確到0.01米）？

22（本題滿分16分）本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.

在平面直角坐標系中，對于直線：和點記若<0，則稱點被直線分隔。若曲線C與直線沒有公共點，且曲線C上存在點被直線分隔，則稱直線為曲線C的一條分隔線.

⑴ 求證：點被直線分隔；

⑵若直線是曲線的分隔線，求實數的取值范圍；

⑶動點M到點的距離與到軸的距離之積為1，設點M的軌跡為E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.

（本題滿分18分）本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知數列滿足.

若，求的取值范圍；

若是公比為等比數列，，求的取值范圍；

若成等差數列，且，求正整數的最大值，以及取最大值時相應數列的公差.

19.解：∵由題得，三棱錐是正三棱錐

∴側棱與底邊所成角相同且底面是邊長為2的正三角形

∴由題得，，

又∵三點恰好在構成的的三條邊上

∴

∴

∴，三棱錐是邊長為2的正四面體

∴如右圖所示作圖，設頂點在底面內的投影為，連接，并延長交于

∴為中點，為的重心，底面

∴，，

解：（1）由題得，

∴，

∵且

∴①當時，，

∴對任意的都有，∴為偶函數

②當時，，，

∴對任意的且都有，∴為奇函數

③當且時，定義域為，

∴定義域不關于原定對稱，∴為非奇非偶函數

解：（1）由題得，∵，且，

即，解得，，∴米

由題得，，

∵，∴米

∵，∴米

證明：（1）由題得，，∴被直線分隔。

解：（2）由題得，直線與曲線無交點

即無解

∴或，∴

證明：（理科）（3）由題得，設，∴，

化簡得，點的軌跡方程為。

①當過原點的直線斜率存在時，設方程為。

聯立方程，。

令，，顯然是開口朝上的二次函數

∴由二次函數與冪函數的圖像可得，必定有解，不符合題意，舍去

②當過原點的直線斜率不存在時，其方程為。

顯然與曲線沒有交點，在曲線上找兩點。

∴，符合題意

綜上所述，僅存在一條直線是的分割線。

證明：（文科）（3）由題得，設，∴，

化簡得，點的軌跡方程為。

顯然與曲線沒有交點，在曲線上找兩點。

∴，符合題意。∴是的分割線。

解：（1）由題得，

（理科）（2）由題得，∵，且數列是等比數列，，

∴，∴，∴。

又∵，∴當時，對恒成立，滿足題意。

當時，

∴①當時，，由單調性可得，，解得，

②當時，，由單調性可得，，解得，

（理科）（3）由題得，∵，且數列成等差數列，，

∴，∴，∴

又∵，∴

∴，∴，解得，，

∴的最大值為1999，此時公差為

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