三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

（15）（本小題共13分）

已知函數（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區間上的最大值和最小值。

【解析】：（Ⅰ）因為

所以的最小正周期為

（Ⅱ）因為于是，當時，取得最大值2；當取得最小值—1．

（16）（本小題共13分）

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵樹.乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示.

（Ⅰ）如果X=8，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；（Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數為19的概率。（注：方差其中為，，的平均數）

【解析】：（Ⅰ）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8，8，9，10，

所以平均數為

方差為

（Ⅱ）記甲組四名同學為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數依次為9，9，11，11；乙組四名同學為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數依次為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“選出的兩名同學的植樹總棵數為19”這一事件，則C中的結果有4個，它們是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率為

（17）（本小題共14分） 如圖，在四面體中，點分別是棱的中點。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：四邊形為矩形；（Ⅲ ）是否存在點，到四面體六條棱的中點 的距離相等？說明理由。

【解析】：證明：（Ⅰ）因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE//PC。又因為DE平面BCP，所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因為D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四邊形DEFG為平行四邊形，

又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形。

（Ⅲ）存在點Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設Q為EG的中點

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。

與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線點為EG的中點Q，

且QM=QN=EG，所以Q為滿足條件的點.

（18）（本小題共13分） 已知函數。（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）求在區間上的最小值。

【解析】：（Ⅰ）令，得．與的情況如下：

所以，的單調遞減區間是（）；單調遞增區間是

（Ⅱ）當，即時，函數在[0，1]上單調遞增，所以（x）在區間[0，1]上的最小值為當時，由（Ⅰ）知上單調遞減，在上單調遞增，所以在區間[0，1]上的最小值為；當時，函數在[0，1]上單調遞減，所以在區間[0，1]上的最小值為

（19）（本小題共14分） 已知橢圓的離心率為，右焦點為。斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為。（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積。

【解析】：（Ⅰ）由已知得解得又

所以橢圓G的方程為

（Ⅱ）設直線l的方程為由得設A、B的坐標分別為AB中點為E，則因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。此時方程①為解得所以所以|AB|=.此時，點P（—3，2）到直線AB：的距離所以△PAB的面積S=

（20）（本小題共13分）

若數列滿足 ，則稱為數列。記。（Ⅰ）寫出一個數列滿足；（Ⅱ）若，證明：數列是遞增數列的充要條件是；（Ⅲ）在的數列中，求使得成立的的最小值。

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