19. (本小題滿分12分，(Ⅰ)小問5分，(Ⅱ)小問7分.)

設=的導數為,若函數=的圖象關于直線=對稱，且=0.

(Ⅰ)求實數,的值;

(Ⅱ)求函數的極值.

【命題意圖】本題考查考查利用導數求函數的極值、二次函數的圖像與性質，考查方程與不等式思想、轉化和化歸思想，屬容易題.

【解析】(Ⅰ)=,

∵若函數=的圖象關于直線=對稱，且=0,

∴=且，解得=3，=－12.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知=，

==，

的變化如下：

∴當=－2時，取極大值，極大值為21，當=1時，取極小值，極小值為－6.

20.(本小題滿分12分，(Ⅰ)小問6分，(Ⅱ)小問6分.如圖，在四面體中，平面⊥平面，⊥，==2，==1.

(Ⅰ)求四面體的體積;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.

【命題意圖】本題考查簡單幾何體的體積計算、二面角的求法，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力及轉化與化歸思想，是中檔題.

【解析】(Ⅰ) 如圖，過作⊥于，∵平面⊥平面，

∴⊥平面，則是四面體的面上的高，

設中點為，∵==2，∴⊥，

∴===,

∵=, ∴==,

在中，==,∴==,

∴四棱錐的體積==.

(Ⅱ)（幾何法）過作⊥與，連結，由(Ⅰ)知⊥面，

由三垂線定理知⊥，∴為二面角的平面角，

在中，===,

在中，∥， ∴, ∴==,

在中，==.

21. (本小題滿分12分，(Ⅰ)小問4分，(Ⅱ)小問8分.)如圖，橢圓的中心為原點，離心率=,一條準線的方程是=.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)設動點滿足:=,其中,是橢圓上的點，直線與的斜率之積為.問:是否存在定點,使得與點到直線：=的距離之比為定值？若存在,求的坐標;若不存在,說明理由.

【命題意圖】本題考查了橢圓標準方程的求解與橢圓的定植問題，考查學生綜合運用知識解決問題能力、運算求解能力和探究問題能力，難度較大.

【解析】(Ⅰ) ∵==,=,解得=2，=，∴==2，

∴橢圓的標準方程為；

(Ⅱ)設P(，)，，，則由=，得

==，

∴=，=，

∵,在橢圓上，∴，，

∴==

==.

設,分別表示直線，的斜率，由題設條件知，==，

∴， ∴=20，

∴點在橢圓上，該橢圓的右焦點為(,0),離心率=，右準線為：=，

∴根據橢圓的第二定義，存在定點(,0)，使得與點到直線的距離之比為定值.

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