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2013年高考數學真題附解析(上海卷+文科)

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二、選擇題(本大題共有4小題,滿分20分)每題有且只有一個正確答案,考生應在答題紙的相應編號上,將代表答案的小方格涂黑,選對得5分,否則一律得零分.

15.函數(x≥0)的反函數為f -1(x),則f -1(2)的值是( A )

(A)(B)-(C)1+(D)1-

【答案】 A

【解析】

選A

16.設常數a∈R,集合A=,B=.若A∪B=R,則a的取值范圍為( B )

(A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)

【答案】 B

【解析】 方法:代值法,排除法。當a=1時,A=R,符合題意;當a=2時,

綜上,選B

標準解法如下:

.

選B

17.錢大姐常說“好貨不便宜”,她這句話的意思是:“好貨”是“不便宜”的( A )

(A)充分條件 (B)必要條件

(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件

【答案】 A

【解析】

選A

當點(x,y)分別在,…上時,x+y的最大值分別是M1,M2,…,則=( D )

(A)0 (B) (C)2 (D)

【答案】 D

【解析】

選D

三、解答題(本大題共有5下題,滿分74分)解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.

19.(本題滿分12分)

如圖,正三棱錐O-ABC的底面邊長為2,高為1,求該三棱錐的體積及表面積。

【答案】

【解析】

所以,

20.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分9分.

甲廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品(生產條件要求1≤x≤10),每小時可獲得的利潤是100元.

(1)求證:生產a千克該產品所獲得的利潤為100a元;

(2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大,問:甲廠應該選取何種生產速度?并求此最大利潤.

【答案】 (1) 見下

(2)當生產速度為6千克/小時,這時獲得最大利潤為457500元。

【解析】 (1)證明:由題知,生產a千克該產品所需要的時間小時,

所獲得的利潤

所以,生產a千克該產品所獲得的利潤為100a元;(證畢)

(2) 由(1)知,生產900千克該產品即a=900千克時,獲得的利潤

由二次函數的知識可知,當=,即x=6時,

所以,當生產速度為6千克/小時,這時獲得最大利潤為457500元。

21.(本題滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.

已知函數,其中常數ω>0.

(1)令ω=1,判斷函數的奇偶性,并說明理由;

(2)令ω=2,將函數y=f(x)的圖像向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到函數y=g(x)的圖像.對任意a∈R,求y=g(x)在區間[a,a+10π]上零點個數的所有可能值.

【答案】 (1)

(2) 20,21

【解析】 (1)

(2)ω=2,將函數y=f(x)的圖像向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到函數y=g(x):

.

所以y=g(x)在區間[a, a+10π]、其長度為10個周期上,零點個數可以取20,21個

22.(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分.

已知函數,無窮數列滿足an+1=f(an),n∈N*

(1)若a1=0,求a2,a3,a4;

(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數列,求a1的值.

(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an…成等差數列?若存在,求出所有這樣的a1;若不存在,說明理由.

【答案】 (1)

(2)

(3)

【解析】 (1)

(2)

分情況討論如何:

(3)

討論如下:


23.(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分.

如圖,已知雙曲線C1:,曲線C2:.P是平面內一點.若存在過點P的直線與C1、C2都有共同點,則稱P為“C1-C2型點”.

(1)在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);

(2)設直線y=kx與C2有公共點,求證>1,進而證明圓點不是“C1-C2型點”;

(3)求證:圓內的點都不是“C1-C2型點”.

【答案】 (1)

【解析】 (1) 顯然,由雙曲線的幾何圖像性質可知,過.從曲線圖像上取點P(0,1),則直線。這時直線方程為

(2) 先證明“若直線y=kx與有公共點,則>1”.

雙曲線

.

.

所以直線y=kx與有公共點,則>1 . (證畢)

所以原點不是“C1-C2型點”;(完)

(3)設直線過圓內一點,則直線斜率不存在時與曲線無交點。

設直線方程為:y = kx + m,則:

假設直線與曲線相交上方,則

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