(19)(本小題12分)
解法一:
(Ⅰ)因?yàn)锳D//BC,且所以
從而A點(diǎn)到平面
的距離等于D點(diǎn)到平面
的距離。
因?yàn)槠矫?img onmouseover='upNext(this)' title="1410428131976764.gif" src="http://pic.kekenet.com/2014/0911/1410430145988367.gif"/>故,從而
,由AD//BC,得
,又由
知
,從而
為點(diǎn)A到平面
的距離,因此在
中
(Ⅱ)如答(19)圖1,過E電作交
于點(diǎn)G,又過G點(diǎn)作
,交AB于H,故
為二面角
的平面角,記為
,過E點(diǎn)作EF//BC,交
于點(diǎn)F,連結(jié)GF,因平面
,故
.
由于E為BS邊中點(diǎn),故,在
中,
,因
,又
故由三垂線定理的逆定理得,從而又可得
因此而在
中,
在中,
可得
,故所求二面角的大小為
解法二:
(Ⅰ)如答(19)圖2,以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OD,OC分別為x軸,y軸正向,建立空間坐標(biāo)系,設(shè),因平面
即點(diǎn)A在xoz平面上,因此
又
因AD//BC,故BC⊥平面CSD,即BCS與平面
yOx重合,從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.
(Ⅱ)易知C(0,2,0),D(,0,0). 因E為BS的中點(diǎn).
ΔBCS為直角三角形 ,
知
設(shè)B(0,2, ),
>0,則
=2,故B(0,2,2),所以E(0,1,1) .
在CD上取點(diǎn)G,設(shè)G(),使GE⊥CD .
由故
①
又點(diǎn)G在直線CD上,即,由
=(
),則有
②
聯(lián)立①、②,解得G= ,
故=
.又由AD⊥CD,所以二面角E-CD-A的平面角為向量
與向量
所成的角,記此角為
.
因?yàn)?img onmouseover='upNext(this)' title="1410428297269667.gif" src="http://pic.kekenet.com/2014/0911/1410430155307557.gif"/>=,
,所以
故所求的二面角的大小為 .
(20)(本小題12分)
解:(Ⅰ)由題設(shè)條件知焦點(diǎn)在y軸上,故設(shè)橢圓方程為(a >b> 0 ).
設(shè),由準(zhǔn)線方程
得.由
得
,解得 a = 2 ,c =
,從而 b = 1,橢圓方程為
.
又易知C,D兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),所以,
從而,當(dāng)且僅當(dāng)
,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為
時(shí)上式取等號(hào),
的最大值為4 .
(II)如圖(20)圖,設(shè)
.因?yàn)?img onmouseover='upNext(this)' title="1410428350156950.gif" src="http://pic.kekenet.com/2014/0911/1410430156968404.gif"/>,故
①
因?yàn)?img onmouseover='upNext(this)' title="1410428351765718.gif" src="http://pic.kekenet.com/2014/0911/1410430156818126.gif"/>
所以 . ②
記P點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn)
所以
由因?yàn)? ,結(jié)合①,②得
故動(dòng)點(diǎn)P的估計(jì)方程為
(21)(本小題12分)
解:(I)因是公比為d的等比數(shù)列,從而
由
,故
解得或
(舍去)。因此
又 。解得
從而當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),由
是公比為d的等比數(shù)列得
因此
(II)由題意得
有①得 ④
由①,②,③得,
故. ⑤
又,故有
.⑥
下面反證法證明:
若不然,設(shè)
若取即
,則由⑥得
,而由③得
得由②得
而
④及⑥可推得
(
)與題設(shè)矛盾
同理若P=2,3,4,5均可得(
)與題設(shè)矛盾,因此
為6的倍數(shù)
由均值不等式得
由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等(否則,從而
與題設(shè)矛盾),故等號(hào)不成立,從而
又
,由④和⑥得
因此由⑤得