2014學年度四調考試高三年級數學（理科）試卷
命題人 褚艷春 王叢
本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：（本題共12個小題，每小題5分，共60分，在四個選項中，只有一項是符合要求的）
1.已知命題 ： （ ）
A． B．
C． D．
2．數列 中，若 ，則該數列的通項 （ ）
A． B． C． D．
3.在 中,若 ,則 的形狀一定是（　　）
A．等邊三角形 B． 直角三角形
C．鈍角三角形 D．不含 角的等腰三角形
4.已知 的最小值是 ，則二項式 展開式中 項的系數為（ ）
A． B． C． D．
5. 高三要安排畢業晚會的4個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求兩個舞蹈節目不連排，則不同排法的種數是（ ）
A．1800 B．3600 C．4320 D．5040
6. 右圖是一個幾何體的三視圖,其中正視圖和側視圖都是一個兩底長分別為2和4,腰長為4的等腰梯形,則該幾何體的側面積是（　　）
A． B．
C． D．
7. 6張卡片上分別寫有數字1，1，2，3，4，5，從中取4張排成一排，可以組成不同的4位奇數的個數為（ ）
A．180 B．126 C．93 D．60
8.已知 點C在∠AOB外且 設實 數 滿足
則 等于（　　）
A．2 B． C．-2 D．- :Z§
9.能夠把圓 : 的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓 的“和
諧函數”,下列函數不是圓 的“和諧函數”的是（　　）
A． B．
C． D．
10．點P是雙曲線 左支上的一點，其右焦點為 ，若 為線段 的中點, 且 到坐標原點的距離為 ，則雙曲線的離心率 的取值范圍是 ( )
A． B． C． D．
11．已知函數 的兩個極值點分別為 ，且 ， ，點 表示的平面區域為 ，若函數 的圖像上存在區域 內的點，則實數 的取值范圍是（　　）
A. B. C. D.
12．設函數 的定義域為 ，若滿足：① 在 內是單調函數； ②存在 ,使得 在 上的值域為 ，那么就稱 是定義域為 的“成功函數”.若函數 是定義域為 的“成功函數”，則 的取值范圍為 ( )
A. B. C. D.
Ⅱ卷 非選擇題 （共90分）
二、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分. 把每小題的答案填在答題紙的相應位置）
13.對一個各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有________種（用數字作答）．
14.已知ΔABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,若a = 1, 2cosC + c = 2b,則ΔABC
的周長的取值范圍是__________.
15.已知定義在 上的偶函數 滿足: ,且當
時, 單調遞減,給出以下四個命題:
① ;
② 為函數 圖像的一條對稱軸;
③函數 在 單調遞增;
④若關于 的方程 在 上的兩根 ,則 .
以上命題中所有正確的命題的序號為_______________.
16.如圖，已知球 是棱長為 的正方體 的內切球，則平面 截球 的截面面積為
三、解答題（本題6個題， 共70分，把每題的答案填在答卷紙的相應位置）
17.在 中，角 所對的邊為 ，且滿足
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）若 且 ，求 的取值范圍．
18、已知數列{an}滿足： ， ，
（Ⅰ）求 ，并求數列{an}通項公式；
（Ⅱ）記數列{an}前2n項和為 ，當 取最大值時，求 的值．
19. 正方形 與梯形 所在平面互相垂直， ， ，點 在線段 上且不與 重合。
（Ⅰ）當點M是EC中點時，求證：BM//平面ADEF；
（Ⅱ）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為 時，求三棱錐 的體積.
20、如圖，已知拋物線 ： 和⊙ ： ，過拋物線 上一點
作兩條直線與⊙ 相切于 、 兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心
點 到拋物線準線的距離為 ．
（Ⅰ）求拋物線 的方程；
（Ⅱ）當 的角平分線垂直 軸時，求直線 的斜率；
（Ⅲ）若直線 在 軸上的截距為 ，求 的最小值．
21. 設 , .
（Ⅰ）當 時,求曲線 在 處的切線的方程;
（Ⅱ）如果存在 ,使得 成立,求滿足上述條件的最大整數 ;
（Ⅲ）如果對任意的 ,都有 成立,求實數 的取值范圍.
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答。注意：只能做所選定題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分。
22. 如圖,在正△ABC中,點D,E分別在邊AC, AB上,且AD= AC
AE= AB,BD,CE相交于點F.
（Ⅰ）求證:A,E,F,D四點共圓;
（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.
23. 設
（Ⅰ）當 ，解不等式 ；
（Ⅱ）當 時，若 ，使得不等式 成立，求實數 的取值范圍．
24. 已知曲線 的極坐標方程是 ，以極點為原點，極軸為 軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線 的參數方程為 （ 為參數）.
（Ⅰ）寫出直線 的普通方程與曲線 的直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線 經過伸縮變換 得到曲線 ，設 為曲線 上任一點，求 的最小值，并求相應點 的坐標。
2013～2014學年度上學期四調考試 高三年級數學（理科）答案
一、選擇題 1-5 DCBAB 6-10 DBADB 11-12 AC
11.試題分析： 的兩根為 ，且 ，
，故有
即 作出區域D，如圖陰影部分，
可得 ，∴ ，故選B．
12．試題分析：無論 ，還是 ，都有 是增函數， 故 ，
，所以方程 有兩個根，
即 有兩個根，設 ，則直線 與函數 有兩個交點，
畫出這兩個圖象可以看出 的取值范圍是 ，顯然此時函數定義域為 ，選C.
二、填空題 13、30 14、 15、①②④ 16.
故
----------8分
因為 ，所以 ， ，----------10分
所以 ． ----------12分
18 解：（I）∵a1=20，a2=7，an+2﹣an=﹣2 ∴a3=18，a4=5
由題意可得數列{an}奇數項、偶數項分布是以﹣2為公差的等差數列
當n為奇數時， =21﹣n
當n為偶數時， =9﹣n
∴an= ---------------------------------------------6分
（II）s2n=a1+a2+…+a2n =（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）
= =﹣2n2+29n
結合二次函數的性質可知，當n=7時最大----------------------------------12分
19. 試題解析：（Ⅰ）以 分別為 軸建立空間直角坐標系
則
的一個法向量
， 。即 --------------------4分
（Ⅱ）依題意設 ，設面 的法向量
則 ，
令 ，則 ，面 的法向量
，解得 ---------------------10分
為EC的中點， ， 到面 的距離
------------------------------------------12分
20、解（1）∵點 到拋物線準線的距離為 ，
∴ ，即拋物線 的方程為 ．----------------------------------------------2分
（2）法一：∵當 的角平分線垂直 軸時，點 ，∴ ，
設 ， ，
∴ ， ∴ ，
∴ ． ．---------------------------6分
法二：∵當 的角平分線垂直 軸時，點 ，∴ ，可得 ， ，∴直線 的方程為 ，
聯立方程組 ，得 ，
∵ ∴ ， ．
同理可得 ， ，∴ ．---------------------------6分
（3）法一：設 ，∵ ，∴ ，
可得，直線 的方程為 ，
同理，直線 的方程為 ，
∴ ， ，
∴直線 的方程為 ， 令 ，可得 ，
∵ 關于 的函數在 單調遞增， ∴ ．------------------------------12分
法二：設點 ， ， ．
以 為圓心， 為半徑的圓方程為 ， ①
⊙ 方程： ． ②
①-②得：直線 的方程為 ．
當 時，直線 在 軸上的截距 ，
∵ 關于 的函數在 單調遞增， ∴ ． ------------------------12分
21. 【答案】(1)當 時, , , , ,
所以曲線 在 處的切線方程為 ; 2分
(2)存在 ,使得 成立 等價于: ,
考察 , ,
遞減 極小值 遞增
由上表可知: ,
,
所以滿足條件的最大整數 ; 7分
(3)當 時, 恒成立等價于 恒成立,
22. 【答案】(Ⅰ)證明:∵AE= AB, ∴BE= AB, ∵在正△ABC中,AD= AC, ∴AD=BE,
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,
即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四點共圓. ---------------------------5分
(Ⅱ)解:如圖, 取AE的中點 G,連接GD,則AG=GE= AE,
∵AE= AB, ∴AG=GE= AB= ,
∵AD= AC= ,∠DAE=60°, ∴△AGD為正三角形,
∴GD=AG=AD= ,即GA=GE=GD= ,
所以點G是△AED外接圓的圓心,且圓G的半徑為 .
由于A,E,F,D四點共圓,即A,E,F,D四點共圓G,其半徑為 . -------------------10分
23. （I） 時原不等式等價于 即 ，
所以解集為 ．---------------5分
（II）當 時， ，令 ，
由圖像知：當 時， 取得最小值 ,由題意知： ，
所以實數 的取值范圍為 .-------------------10分
24. 試題解析：（1） ------------------------ 4分
（2） ： 設 為：
---------------- 7分
所以當 為( )或 的最小值為1 ----------------10分